基本圖形的應(yīng)用

陳定昌

一、用基本圖形解答三視圖問(wèn)題

例1 在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖1所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為

解析： 簡(jiǎn)單組合體一般由柱、錐、臺(tái)、球等簡(jiǎn)單幾何體組成． 我們可以結(jié)合已知條件，分析各種可能性．根據(jù)俯視圖判斷，幾何體的“前面”是三棱錐，“后面”可能是半圓柱或半圓錐. 再據(jù)正視圖進(jìn)一步分析，“后面”不可能為半圓柱，只能為半圓錐.故選D．

小結(jié)：把已知三視圖轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的直觀圖是求解三視圖問(wèn)題的關(guān)鍵．在解決三視圖問(wèn)題的時(shí)候，可以借助三棱柱、三棱錐、圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體、正方體等簡(jiǎn)單幾何體，將簡(jiǎn)單幾何體的三視圖與組合體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析，尋找相同點(diǎn)．

二、用基本圖形判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系

例2 請(qǐng)寫(xiě)出下列命題中所有真命題的代號(hào)：．

①如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于平面β.

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線(xiàn)平行于平面β.

③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.

④如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直于平面β.

解析：如圖2所示，我們可以借助長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1來(lái)判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系．對(duì)于①，取平面ABB1A1為α，平面ABCD為β，則α⊥β， 在α內(nèi)，直線(xiàn)A1B1∥平面β，①為真.對(duì)于②，取平面ABB1A1為α，平面A1B1CD為β，則平面α不垂直于平面β，但α內(nèi)有直線(xiàn)AB∥平面β，②為假.對(duì)于③，取平面ABB1A1為α，平面ABCD為β，平面AA1D1D為γ，則α⊥γ， β⊥γ，α∩β＝AB=l，明顯，AB⊥平面AA1D1D，即ｌ⊥γ，③為真. 對(duì)于④，取平面ABB1A1為α，平面ABCD為β，由AB1不垂直于平面ABCD，可知④為假． 選①③．

小結(jié)：當(dāng)我們面對(duì)判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的選擇題、填空題時(shí)，可根據(jù)已知的位置關(guān)系選取相應(yīng)的基本圖形，使題中點(diǎn)、線(xiàn)、面的相對(duì)位置關(guān)系與基本圖形中一些特殊的點(diǎn)、線(xiàn)、面相互對(duì)應(yīng)，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)作出判斷．由于我們常常面對(duì)線(xiàn)面垂直和面面垂直這類(lèi)關(guān)系，基本圖形的選擇以長(zhǎng)方體和正方體居多．有時(shí)同學(xué)們也可以考慮其他基本圖形，比如已知兩個(gè)平面相交但不垂直，可考慮斜棱柱．

三、用基本圖形求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角

例3 如圖3所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB⊥AD，BC⊥CD，二面角A-BD-C的大小為150°，則直線(xiàn)AC與平面BCD所成角的大小為．

解析：若將該三棱椎沿棱BD展開(kāi)，使平面ABC與平面BCD重合，則可得正方形ABCD. 故可將三棱錐A-BCD看做由正方形ABCD繞對(duì)角線(xiàn)BD翻折，且使二面角A-BD-C的大小為150°的幾何體． 由此可借助正方形來(lái)求解．

如圖4所示，聯(lián)結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，由正方形的性質(zhì)可知，在正方形沿BD折起的過(guò)程中，始終有AO⊥BD，CO⊥BD.結(jié)合圖3可知，∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，且BD⊥平面AOC， ∴ 平面AOC⊥平面BCD. ∠ACO=?（180°-150°）＝15°即為所求角的大?。?/p>

小結(jié)：我們通常用定義法、等體積法和向量法求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角的大小．但如果題中幾何體的一個(gè)二面角按棱展開(kāi)后是某個(gè)特殊的平面圖形，或線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角本身恰好與長(zhǎng)方體、正方體或正四面體等幾何體中的線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角相互對(duì)應(yīng)，我們就可借助這些基本圖形巧妙地計(jì)算角的大?。?

四、用基本圖形探究特定的點(diǎn)或直線(xiàn)是否存在

例4 如圖5所示，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線(xiàn)段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，試問(wèn)在線(xiàn)段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：同學(xué)們一般會(huì)使用向量法或直接使用幾何法解答例4． 其實(shí)，借用長(zhǎng)方體來(lái)解題更加簡(jiǎn)便．如圖6所示，我們可將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)為５、寬為８、高為4的長(zhǎng)方體BCFG-B1C1F1G1中．其中，A為FG的中點(diǎn)，K為F1G1的中點(diǎn)，L為B1C1的中點(diǎn). ∵ AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴ AD是BC的中垂線(xiàn)，也是長(zhǎng)方體下底面的對(duì)稱(chēng)軸.又O在AD上， ∴ O位于長(zhǎng)方體下底面的對(duì)稱(chēng)軸上． ∵ PO⊥平面ABC，又平面ABC∥平面B1C1F1G1， ∴ PO⊥平面B1C1F1G1. 根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱(chēng)性，可知P位于長(zhǎng)方體上底面的對(duì)稱(chēng)軸KL上．

∵ BC⊥AK，BC⊥PK， ∴ BC⊥平面AKP， ∴ AP⊥BC．假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M，則過(guò)點(diǎn)B可作直線(xiàn)BN⊥MC于點(diǎn)N． ∵ 二面角A-MC-B為直二面角， ∴ BN⊥平面AMC．又AM?奐AP， ∴ BN⊥AP． ∵ BN?奐平面BMC， ∴ AP⊥平面BMC， ∴ AM⊥BM， △AMB為直角三角形．

在Rt△AGB中，由AG=4，GB=5，可求得AB=. 在Rt△AKP中，由AK=4，KP=AO=3可求得AP=5. 在Rt△PLD中，由PL=2，LD=4可求得PD=2. ∵ BC⊥平面KLDA，PD?奐平面KLDA，∴ BC⊥PD. 在Rt△PDB中，由BD=4，PD=2可求得PB=6. 在△ABP中，由余弦定理可得cos∠MAB=>0，cos∠PBA=>0，可知∠MAB與∠PBA為銳角，∠MBA<∠PBA也為銳角. ∴ 在△AMB中，∠AMB=90°可以成立，即存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M. 在Rt△AMB中，AM=AB?cos∠MAB=?＝３.

小結(jié)：例4要求探究立體幾何題目中具有某些特定性質(zhì)的點(diǎn)或直線(xiàn)是否存在，這類(lèi)題目難度較大．同學(xué)們可嘗試將題中的幾何體放入長(zhǎng)方體、正方體和球體等基本圖形，看看該幾何體的邊長(zhǎng)、頂點(diǎn)是否與基本圖形的邊長(zhǎng)、軸和特殊點(diǎn)吻合. 有時(shí)也可以根據(jù)題干構(gòu)造基本圖形，使題中幾何體的邊長(zhǎng)、頂點(diǎn)與基本圖形的邊長(zhǎng)、頂點(diǎn)相互對(duì)應(yīng)，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)分析和解答問(wèn)題．