隱含條件,隱在哪里

陳平

一、數學對象的前提、適用范圍和應用背景中的隱含條件

解數學題時，我們往往比較重視概念、定義、公式、定理等數學對象本身，卻容易忽略其前提、適用范圍和應用背景等外圍因素．而這些外圍因素中的隱含條件，有時會對解題產生關鍵性的影響．

1．定義、概念等的前提條件

例1 已知動點P到點A（1，0）的距離與到直線m：x+y=1的距離相等，則點P的軌跡是

（A） 橢圓 （B） 雙曲線 （C） 拋物線 （D） 直線

錯解： ∵點P到定點A的距離與到定直線m的距離相等，∴ 點P的軌跡是拋物線． 選C．

錯因分析：“到一個定點的距離與到一條定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線”，這個定義的前提條件是“定點不在定直線上”. 錯解忽視了這一隱含條件，導致錯誤．

正解： ∵點A（1，0）在直線ｍ上，∴點P的軌跡不是拋物線，而是過點A的直線ｍ的垂線. 選D．

2．公式、法則等的適用條件

例2 已知雙曲線x2-=1，過點B（1，1）能否作直線l，使點B是直線l被雙曲線所截得的弦的中點？

錯解： 設直線l存在且與雙曲線交于點P1（x1，y2），P2（x2，y2），則有-=1，-=1，兩式相減得2（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0． 由題意得x1+x2＝2，y1+y2＝2， ∴ ＝2， 即直線l的斜率為2． ∴ 能作出符合條件的直線l，l的方程為y=2x-1．

錯因分析： 例2運用點差法處理直線與曲線的位置關系，但點差法的適用條件是直線與曲線有兩個交點，即聯立直線方程與曲線方程得到關于x的一元二次方程，其判別式Δ＞0． 在例2中，將y=2x-1代入x2-=1，可得2x2-4x+3=0，其判別式Δ<0. 故使用點差法時必須考慮判別式.

正解：由錯解得直線l的方程為y=2x-1． 聯立y=2x-1與x2-=1，整理得2x2-4x+3=0，其判別式Δ=-8<0， ∴ 直線與雙曲線沒有交點，即不存在符合條件的直線l．

3．實際的應用背景

例3 某家具店銷售一種桌椅，每張桌子成本500元，利潤80元；每把椅子成本200元，利潤40元． 根據銷售經驗，進貨時椅子數不能少于桌子數，但不能多于桌子數的1.5倍． 試問用2萬元的成本銷售這種桌椅，最多可得多少利潤？

錯解： 設購進桌子和椅子的數目分別為x，y，則有500x+200y≤20000，x≤y≤1.5x，x≥0，y≥0.（①），利潤z=80x+40y （②）． 化簡500x+200≤20000得y≤100-2.5x. 如圖1所示，分別作出直線 y=100-2.5x，y=1.5x，y=x的圖象，陰影部分即為不等式組①表示的區域. 其中， y=100-2.5x與y=1.5x交于點A（25，37.5），與ｙ＝ｘ交于點B，. 再作出②式所在直線l：y=-2x+，當l經過點A（25，37.5） 時，直線的縱截距最大，此時z取得最大值3500，即最多可得利潤3500元．

錯因分析： 根據實際意義，桌子和椅子的數目必須是正整數，而當z取得最大值3500時，y=37.5不是整數. 雖然從數學計算的角度來講并沒有錯，但這違背了實際常識．

正解： 由錯解可知z=80x+40y<3500，即2x+y<87.5， ∵ x，y∈N*， ∴ 2x+y≤87． 計算可得當x=25，y=37或x=26，y=35時2x+y=87，此時z=3480，即最多可得利潤3480元．

二、題設條件、數式結構中的隱性要求

數學題的文字表述和數式表達往往不會直接或明顯地反映出某些條件，如果在分析題意時不深入挖掘這些隱含條件，就會造成錯解、增解和漏解．

1．題設中的隱含條件

例4 已知離散型隨機變量的分布列如下表，求E．

錯解： 由數學期望值公式可得E=-1×0.5+0×（1-2q）+1×q2=q2-0.5．

錯因分析： 在例4中，除了題目明確給出的變量各個值對應的概率表達式外，還隱含著一個條件：各個概率值應在0到1之間且概率之和為1，因此q是一個確定值，E也是一個確定值．

正解： 由0.5+（1-2q）+q2=1，0≤1-2q≤1，0≤q2≤1解得q=1-， ∴ E=q2-0.5=1-．

2．變量、式子的取值限制

例5 求函數f（x）=log（x2-2x-3）的增區間．

錯解： f（x）由y=logu和u=x2-2x-3復合而成，∵ y=logu是減函數，∴應求出u=x2-2x-3的減區間．由u′=2x-2解得u=x2-2x-3的減區間為（-∞，1］， ∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增區間為（-∞，1］．

錯因分析： 函數f（x）中存在對數式，隱含著“真數大于零”這個條件，若忽視了這個隱含條件，就會擴大增區間的范圍，導致錯誤．

正解： 由錯解得u=x2-2x-3的減區間為（-∞，1］，又由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，∴ f（x）=log（x2-2x-3）的增區間為（-∞，-1）．

三、運算求解、推理變形過程中的隱含條件

在運算與推理的過程中，條件在不斷地變化．一些原有的隱含條件可能不再起作用，而新的隱含條件可能會產生. 忽視隱含條件的變化，也是解題失誤的重要原因．

1．解題中新出現的隱含條件

例6 求過P（2，2）且與A（1，3），B（3，5）兩點距離相等的直線方程．

錯解： 設所求直線方程為y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0. 由 A，B兩點到直線的距離相等，可得=，化簡得k+1=k-3，解得k=1． ∴所求的直線方程為x-y=0．

錯因分析： 把直線方程設為y-2=k（x-2），隱含著“直線的斜率存在”這一條件．如此一來，斜率不存在的直線就被錯誤地排除在外了．

正解： 由錯解得x-y=0. 又當直線斜率不存在時，過點P的直線方程為 x=2， x=2與A，B的距離都等于1，也滿足要求． ∴ 所求的直線方程為x-y=0與x=2．

2．求解中消去的隱含條件

例7 已知3sin2α+2sin2β=2sinα，試求sin2α+sin2β的取值范圍．

錯解： 由題意得sin2β=（2sinα-3sin2α）， ∴ sin2α+sin2β=sin2α+?（2sinα-3sin2α）=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinα≤1， ∴ -≤sin2α+sin2β≤．

錯因分析： 解題過程中消去了變量sinβ，使整理所得的式子僅含一個變量sinα，但sinβ的取值范圍限制也因此被“消去”了．

正解： 由錯解得sin2α+sin2β=-（sinα-1）2+． ∵ -1≤sinβ≤1，由0≤sin2β=（2sinα-3sin2α）≤1解得0≤sinα≤， ∴ 0≤sin2α+sin2β≤．

總結：通過對以上例題的分析與講解，我們知道，重視隱含條件是提高解題正確性的重要保障，這一點要貫穿在分析和求解數學題的整個過程中．