粗糙模糊子格＊

郝 景，李慶國

（湖南大學數學與計量經濟學院，湖南長沙 410082）

Pawlak提出粗糙集是為了處理不確定信息和不明確信息.粗糙集理論作為一種信息處理的工具，近年來飛速發展，并廣泛應用于數據挖掘、智能模式識別、圖像處理等領域.

近似空間在粗糙集理論中有極其重要的地位，其發展主要分布在以下幾個方面.第一，等價關系的一般化.Pawlak提出的粗糙集是基于等價關系，隨著該理論的應用研究，把等價關系推廣到一般關系上，以解決更一般的問題，從而提出了廣義粗糙集.第二，粗糙集的模糊化.模糊粗糙集最早由D.Dubois等［1］提出.此后，出現了各種各樣的模糊粗糙集.第三，粗糙代數結構的研究.如Biswas等［2］.提出了粗糙群、粗糙子群的概念并且詳細討論了其性質.隨后，一些學者詳細討論了粗糙環、粗糙模等.Estaji等［3］研究了粗糙模糊子格，但他們討論的是基于格上經典的同余關系的粗糙模糊子格.

在本文中，我們提出了格上的模糊同余關系，并基于該模糊同余關系，研究了粗糙模糊子格的一些性質.最后，我們提出了模糊關系同態，討論了模糊關系同態所定義的模糊同余關系，并得到了如下結論：這類同態保持粗糙上逼近.

1 預備知識

在本文中，我們用完備剩余格作為真值結構.剩余格（L，?，→，∨，∧，0，1）滿足：（L，∨，∧，0，1）是有界格，0，1分別是其最大最小元；（L，?，1）是一個可換的幺半群；（?，→）是一個伴隨對，也就是說x?y≤z當且僅當x≤y→z.

下面我們重新回顧一下剩余格的一些基本性質，請參考［4－5］.?關于左右兩項是單調增的，→關于第一項是單調減，關于第二項是單調增.剩余格L上的預補運算如下定義：?：L→L，?a＝a→0.對于所有的x，y∈L，｛xi｝?L，下面的性質成立：

給定一個集合X，它的L模糊子集A是從X到L的映射，參見文獻［6］.對于任意的A，B，∈LX，新的模糊集可構造如下：

L模糊關系R是從X×X到L的映射.稱R是自反的，如果R（x，x）＝1，?x∈X；R是對稱的，如果R（x，y）＝R（y，x），?x，y∈X；R是傳遞的，如果R（x，y）?R（y，z）≤R（x，z），?x，y，z∈X.若R是自反，對稱，傳遞，則稱R是L模糊等價關系.

（X，R）是L模糊近似空間，其中X非空，R是X上的L模糊關系.對于任意的A∈LX，x，y∈X，上下逼近算子定義如下：

L模糊近似空間的具體性質請參考文獻［7］.

2 粗糙模糊子格

在本文中，我們總是假定L是一個完備剩余格.下面的定義參考文獻［8－9］，是文獻中的推廣.

定義1 假定（X，∨，∧）是格.A∈LX，如果對x，y∈X，A（x）?A（y）≤A（x∨y）∧A（x∧y）.那么稱A為X的模糊子格.

定義2 假定（X，∨，∧）是格，A∈LX.

1）如果A（x）?A（y）＝A（x∧y）對任意的x，y∈X成立，則稱A是一個模糊濾子；

2）如果A（x）?A（y）＝A（x∨y）對任意的x，y∈X成立，則稱A是一個模糊理想.

定義3 給定（X，∨，∧）是格，R∈LX×X且R是模糊等價關系.對任意的xi，yi∈Z，i＝1，2，如果

成立，那么我們稱R是模糊同余關系；

如果

成立，那么我們稱R是強模糊同余關系.

命題1 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX且A是模糊理想，Z?X.那么

證明：對于任意的x∈↓Z，存在z∈Z使得x≤z，那么由于A是模糊理想，我們有A（x）?A（z）＝A（x∨z）＝A（z），從而A（x）≥A（z）.

同樣可以證明第二個式子.

定理1 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.

證明：1）對于?x，y∈X，

因R是模糊同余關系，所以第一個不等式成立.同樣，可以有ˉR（A）（x）?ˉR（A）（y）≤ˉR（A）（x∧y）.已證.

2）因為R是強模糊同余關系，所以對于任意x1，x2，y1，y2∈X，有

從而對任意x，y∈X，有

定理2 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R是X上的強模糊同余關系，則有下面關系成立：

證明：同定理1中1）的證明.

定理3 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R是X上的強模糊同余關系，則有下面關系成立：

證明：同定理1中2）的證明.

引理1 假定X是任意的集合，R1，R2是X上的模糊等價關系.那么R2是等價關系當且僅當R2＝R1.

證明：自反性和對稱性顯然成立.下面僅證傳遞性.對所有的x，y，z∈X，有

注：由引理1，我們容易得出，R1，R2是格X上的模糊同余關系.R2是模糊同余關系當且僅當R1o R2＝R1.

定理4 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R2是模糊同余關系且R2＝R1，那么

定義4 給定X，Y是格，f∈LX×Y.如果f滿足：任意x1，x2，y1，y2∈X，

那么稱f為模糊關系同態.

注：X，Y如定義4給定.

1）對于A∈LX，B∈LY，分別可以定義f（A）∈LY，f－1（B）∈LX如下，

2）我們可以分別定義X，Y上的等價關系如下：

［9］，容易得出，分別是X，Y的等價關系.若X，Y是格，則，分別是X，Y上模糊同余關系.

定理5 給定X，Y是格，f是模糊關系同態，A∈LX，那么f（（A））＝f（A）.

證明：對于y∈X，從而（a→b）?c≤a→（b?c），所以第一個不等式成立.已證.

定理6 給定X，Y是格，f是模糊關系同態，A∈LX.那么

3 結 論

在本文中，我們討論了粗糙模糊子格、粗糙模糊理想、濾子的一些性質.并且討論了兩個格在模糊同態關系下，模糊粗糙集的性質.

參考文獻

［1］ DUBOIS D，PRADE H.Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets［J］.International Journal of General Systems，1990，17：191－208.

［2］ BISWAS R，NANDA S.Rough groups and rough subgroups［J］.Bulletin of the Polish Academy of Sciences，1994，42：251－254.

［3］ ESTAJI A A，KHODAII S，BAHRAMI S.On rough set and fuzzy sublattice［J］.Information Sciences，2011，181（18）：3981－3994.

［4］ BLOUNT K，TSINAKIS C.The structure of residuated lattices［J］.International Journal of Algebra and Computation，2003，13（4）：437－461.

［5］ WARD M，DILWORTH R P.Residuated lattices［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1939，45：335－354.

［6］ GOGUEN J A.L－fuzzy sets［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1967，18：145－174.

［7］ SHE Y，WANG G.An axiomatic approach of fuzzy rough sets based on residuated lattices［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，58：189－201.

［8］ ATTALLAH M.Completely fuzzy prime ideals of distributive lattices［J］.The Journal of Fuzzy Mathematics，2000，8（1）：151－156.

［9］ IGNJATOVIC J，CIRIC M，BOGDANOVIC S.Fuzzy homomorphisms of algebras［J］.Fuzzy Sets and Systems，2009，160：2345－2365.