長周期光纖光柵模式與耦合系數的研究＊

謝 中，馮雙磊，周艷明，李 科，馬揚昭

（湖南大學物理與微電子科學學院，湖南長沙 410082）

長周期光纖光柵（LPG）具有插入損耗小、帶寬寬、后向反射低、制作簡單、成本低而且比Bragg光柵的靈敏度更高等優點［1］，已廣泛應用于通信、傳感等領域.長周期光纖光柵的周期比光纖布拉格光柵的周期大得多，在幾十到幾百微米之間.這樣的結構使前向傳輸的纖芯基模與同向傳輸的各階次包層模之間發生耦合.在透射譜中，一些波長符合長周期光纖光柵相位匹配條件的模的強度大為減弱，就形成了一系列的損耗峰［2］.長周期光纖光柵包層模與纖芯模之間的耦合系數是影響損耗峰峰值的重要因素之一.關于耦合系數已有大量的研究，其中有文章［3－4］報道，包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長增大而減小.隨著全光網絡的提出、光器件設計理論和制備工藝的發展、以及對器件工作性能和能量消耗等要求的提高，減小器件尺寸、提高集成度，將光子器件與微電子、光電子器件在納米尺度上混合集成已成為必然趨勢，這就要求光波導線寬度向亞波長和納米尺寸發展.本文針對這一發展趨勢，對半徑較小的光纖長周期光柵的耦合系數進行了研究.運用耦合模理論和常用的3層光纖模型和Math－CAD計算得出了在不同光纖參數下包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長變化的規律，對耦合系數隨波長的變化進行了全面的數值分析.計算模擬的結果表明：與以前研究結果［3－4］不同，包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長的增大而增大.當改變光纖其他參數時包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長變化亦有不同的規律.這些結果可為今后長周期光纖光柵器件微型化設計提供參考.

1 長周期光纖光柵纖芯模和包層模有效折射的分析

1.1 纖芯基模特征方程

纖芯基模特征方程［5－6］如下：

式中：V＝（2π／λ）a1，為歸一化頻率；b＝（－）／（－），為歸一化有效折射率；λ為光波波長；a1為光纖纖芯半徑；n1和n2分別為光纖纖芯、包層的折射率；為纖芯基模的有效折射率；J0，J1和K0，K1分別為0階、1階第一類貝塞爾函數和0階、1階第二類虛宗量貝塞爾函數，解方程（1）可得出纖芯基模的有效折射率.

1.2 包層模的本征方程

包層模的本征方程如下：

方程中的各參數參看文獻［6－7］，解超越方程（2）可得出一階各次包層模的有效折射率.

圖1為一階前20次包層模有效折射率隨波長的變化曲線.計算采用的光纖參數：纖芯折射率n1＝1.458，包層折射率n2＝1.45，纖芯半徑a1＝2.625μm，包層半徑a2＝62.5μm，包層外折射率n3＝1.

圖1 有效折射率隨波長的變化Fig.1 The effective refractive index with wavelength

從圖1中可知一階各次包層模的有效折射率隨波長的增加而減小，而且模次越大的模對應的有效折射率隨波長減小得越快，另外奇次和奇次包層模、偶次和偶次包層模有效折射率的縱向間距隨波長的增大而增大.

2 一階各次包層模耦合系數的研究

本文用三層光纖模型和耦合模理論研究階躍單模光纖中寫入的均勻長周期光纖光柵的纖芯基模與一階各次包層模之間的耦合.纖芯基模與一階各次包層模耦合的耦合系數公式為［6］：

式中：σ（z）為纖芯平均折變量，對于均勻的長周期光纖光柵σ（z）為常數；表示總功率為1W所表征的一階v次包層模式的歸一化常量，可以通過解光纖歸一化功率模型得出［8］：

式中：Pco，Pcl，Pex分別為某一包層模式在纖芯、包層、環境層中的功率；，表示磁場幅角方向、徑向分量的復共軛；，表示電場幅角方向、徑向分量，這些分量均與有關.求出的代入式（2）即可求得耦合系數的值.

2.1 波長對耦合系數隨模次變化的影響

圖2為在上述光纖參數下計算得出的不同波長時耦合系數隨包層模模次的變化.

圖2 不同波長下耦合系數隨模次的變化Fig.2 The coupling coefficient of different wavelengths with mode number

從圖2中可知，奇次包層模（HE模）的耦合系數遠大于偶次包層模（EH模）的耦合系數，且偶次包層模耦合系數隨模次的變化很小.各波長下奇次包層模的耦合系數隨模次先增大后減小，隨著波長的增大奇次模的耦合系數隨模次增大得越來越慢，波長為1.52μm，1.60μm時耦合系數隨模次先增大后減小，另外最大耦合系數對應的模次隨波長的減小而增大.因為一階低偶次模和一階高次模的能量相對較小，所以下文分析長周期光柵的模式耦合時可只考慮纖芯基模與一階低奇次包層模之間耦合，而忽略纖芯基模與其他次包層模（一階低偶次包層模和一階高次包層模）之間的耦合［9］.

2.2 光纖參數對耦合系數隨波長變化的影響

影響長周期光纖光柵包層模耦合系數的光纖參數主要有纖芯和包層的半徑a1和a2，纖芯和包層的折射率n1和n2，包層外介質的折射率n3（設n3＝1）.把以上光纖參數代入式（3），通過數值計算得出耦合系數隨波長變化的情況，光纖初始結構參數取值同前.研究長周期光柵透射譜時一般只考慮前5個奇次包層模和纖芯基模的耦合，因此計算時只提取了模次v＝1，3，5，7，9次包層模的耦合系數，波長范圍為1.2～2.0μm.圖3（a）為初始結構參數下耦合系數隨波長變化的曲線，由圖可知，v＝1，3，5次包層模的耦合系數隨波長的增大而增大；v＝3，5次模的耦合系數隨波長而增大得越來越慢；v＝7，9次包層模的耦合系數則隨波長的增大先增大后減小.

當纖芯折射率n1＝1.46，其他光纖參數為初始結構參數時，耦合系數隨波長變化如圖3（b）所示，由圖中可知v＝1，3，5，7，9次包層模耦合系數隨波長的增大而增大；v＝7，9次包層模的耦合系數隨波長的增大變化得越來越慢，且各次模對應的耦合系數比圖3（a）要小約0.05.

圖3 不同光纖參數下耦合系數隨波長的變化Fig.3 The coupling coefficient with wavelength in different optical fiber parameters

圖3（c）顯示了包層折射率n2＝1.453，其他光纖參數為初始結構參數時，包層模耦合系數隨波長變化的關系，圖中v＝1包層模的耦合系數隨波長增大一直增大且增大得越來越慢；v＝3，5，7次包層模的耦合系數隨波長增大先增大后減小，且增大比減小的慢；模次v＝9的耦合系數隨波長的增大不斷減小，且各次模的耦合系數比圖3（a）中的大約0.1

圖3（d）為纖芯半徑a1＝4.15，其他光纖參數為初始結構參數時，耦合系數隨波長變化的規律.圖中各次包層模的耦合系數隨波長的增大先減小后增大，這與上述3種情況下各次包層模耦合系數隨波長變化的規律恰好相反，而且耦合系數隨波長減小比增大的快.

圖3（e）為用文獻［3］中光纖參數計算得出的包層模耦合系數隨波長變化曲線.圖中v＝1，3，5，7，9次包層模的耦合系數隨波長增大而增大，這與文獻［3］中v＝1，3，5，7，9次包層模的耦合系數（即交流耦合系數）隨波長增大而減小的研究結果不同，原因是文獻［3］應用的耦合系數的計算公式［10］與本文應用的耦合系數的計算公式［3］不同.經軟件模擬仿真與運用公式計算結果進行對比，作者發現運用文獻［6］中公式計算所得的長周期光纖光柵包層模耦合系數更為合理.

2.3 耦合系數對光柵透射譜的影響

設光柵長度均為2cm，折射率調制均為0.000 2，依照圖3中各光纖參數，運用OptiGrating4.2模擬的光柵透射譜如圖4所示，圖4（a），（b），（c），（d），（e）.分別對應圖3（a），（b），（c），（d），（e）.對長周期光柵透射譜而言，包層模耦合系數越大，損耗峰波長在該模次的透射率就越小，即損耗峰峰值就越大.從圖4（a）中很明顯看出7次模對應的損耗波長的透射率最小，這是因為圖3（a）中7次模對應的損耗波長的耦合系數比其他模次對應的損耗波長的耦合系數都大，圖3（c）中3次模在波長為1.5μm處的耦合系數比1次模和5次模在波長分別為1.3μm和1.95μm處的耦合系數都大.

圖4 不同光纖參數下均勻長周期光纖光柵透射譜Fig.4 The transmission spectrum of LPG in different optical fiber parameters

由以上計算模擬結果可知光纖參數對耦合系數隨波長變化的規律有很大影響，耦合系數的大小又直接影響到光柵透射譜損耗峰的峰值，因此選取合適的光纖參數對長周期光纖光柵的設計至關重要.

3 結 論

本文著重研究了小芯徑長周期光纖光柵的一階低奇次包層模的耦合特性.基于耦合模理論，對一階低奇次包層模有效折射率、耦合系數及光柵的透射譜進行了計算模擬.結果表明，不同波長下包層模最大耦合系數對應的模次隨波長的增大而減小，包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長的增大而增大.當改變光纖其他參數時，包層模與纖芯模之間的耦合系數隨波長變化亦有不同的規律.這些結果對進一步研究長周期光纖光柵的透射譜特性及今后長周期光纖光柵器件微型化設計有重要參考價值.

［1］ JAMES S W，TATAN R P.Optical fiber long－period grating sensors：characteristics and application［J］.Meas Sci Technol，2003，14：R49－R61.

［2］ 張自嘉.光纖光柵理論基礎與傳感技術［M］.北京：科學出版社，2009：138.ZHANG Zi－jia.Long optical fiber grating theoretical basis and sensor technology［M］.Beijing：Science Press，2009：138.（In Chinese）

［3］ 崔春雷，劉偉平，黃紅斌，等.長周期光纖光柵包層模特性及其對傳輸譜的影響［J］.光子學報，2005，34（10）：1569－1572.CUI Chun－lei，LIU Wei－ping，HUANG Hong－bin，et al.Cladding modes characteristic and its effects on transmission spectrum of long period fiber gratings［J］.Acta Photonica Sinica，2005，34（10）：1569－1572.（In Chinese）

［4］ 黃桂嶺，趙啟大，劉松，等.長周期光纖光柵透射譜與結構參數關系的研究［J］.光電子·激光，2007，18（5）：519－522.HUANG Gui－ling，ZHAO Qi－da，LIU Song，et al.Study of the relation between the transmission spectra and the structural parameters for a long－period fiber grating［J］.Journal of Optoelectronics，Laser，2007，18（5）：519－522.（In Chinese）

［5］ GLOGE D.Weakly guiding fibers［J］.Appl Opt，1971，10：2252－2258.

［6］ ERDOGAN T.Cladding－mode resonances in short and longperiod fiber grating filters［J］.J Opt Soc Am A，1997，14（8）：1760－1773.

［7］ ERDOGAN T.Cladding－mode resonances in short and long－period ber grating fiters：errata［J］.J Opt Soc Am A，2000，17（11）：2113.

［8］ PERAL E，CAPMANY J.Generalized bloch wave analysis for fiber and waveguide grating［J］.Light－wave Technology，1997，15（8）：1295－1302.

［9］ 饒云江，王義平，朱濤，等.光纖光柵原理及應用［M］.北京：科學出版社，2006：260－266.RAO Yun－jiang，WANG Yi－ping，ZHU Tao，et al.Long period fiber grating principle and application［M］.Beijing：Science Press，2006：260－266.

［10］何萬迅，施文康，葉愛倫，等.長周期光纖光柵模式與耦合的研究［J］.光子學報，2003，23（3）：302－306.HE Wan－xun，SHI Wen－kang，YE Ai－lun，et al.Modes and couplings of long period fiber grating［J］.Acta Optica Sinica，2003，23（3）：302－303.（In Chinese）