非均勻磁場中Heisenberg XXZ自旋鏈的熱量子失協＊

（武漢理工大學理學院 武漢 430070）

0 引 言

量子糾纏是一種量子關聯，在量子通信和信息處理如量子編碼、量子態隱形傳態、量子密鑰分配和量子計算中起著舉足輕重的作用［1］．隨著研究的深入和理論及應用的需要，人們發現量子糾纏僅僅是一種特殊的量子關聯，并沒有完全刻畫經典關聯與量子關聯的本質區別，于是比量子糾纏更一般的的量子關聯現象的研究變得迫切起來．2001年H．Oliveier和 W．H．Zurek提出了量子失協（quantum discord，QD）這個概念［2］，用于量化量子關聯．量子失協，它是用來量化系統中的所有非經典關聯．據觀察，量子失協是更一般的量子關聯度量，它可能包含一個獨立的量子糾纏．此外，量子失協給非經典關聯提供一個更大區域的量子態，并且提供一個非零值的量子關聯．這種量子關聯不是量子糾纏，而是比量子糾纏更一般的量子關聯－量子失協．

近十年來量子失協已在許多方面受到重視，如熱力學和關聯、量子計算、失協的動力學等．特別是，一些文獻研究了在不同的海森堡模型中的熱糾纏和量子失協［3－5］．結果表明：對于在有限溫度時熱量子失協比熱糾纏更強大，因為量子失協在有限溫度下不會消失，但熱糾纏在一定溫度下完全消失．所以在描述量子關聯時量子失協比量子糾纏更實際，而且基于量子失協的量子算法比那些基于量子糾纏的算法更強大．介于此目的，本文研究了在非均勻磁場中兩量子比特的一維海森堡XXZ自旋鏈的熱量子失協，通過比較其量子失協和量子糾纏，探討二者之間存在的差異．

1 量子失協和量子糾纏

為了描述量子關聯，采用兩種類型的度量，包括concurrence和量子失協．由 Wootters［6］定義的concurrence是計算2個量子比特混合態ρAB的形成糾纏度．它可以由C＝max｝表示．式中：物理量λ1，λ2，λ3，λ4分別是矩陣R＝ρAB（σy?σy）ρA＊B（σy?σy）按降序排列的本征值．C＝0對應于沒有糾纏態，而C＝1為最大糾纏態．

另一方面，在經典信息理論中，對于任意的二分態，2個子系統之間的總關聯可以用量子相互信息來描述［7］，有

式中：S（ρ）＝tr（ρlbρ）是馮·諾伊曼熵，ρA（B）＝trB（A）ρ是通過追蹤系統B（A）的約化密度矩陣．量子相互信息具有基本物理的重大意義，它通常被用來度量包含量子和經典的總關聯．對于子系統A和B的經典關聯可以定義為

式中：L（ρAB｜｛Bk｝）是在量子系統B 上的一個基于給定度量基｛Bk｝的量子相互信息的變量，即

式中：ρk＝（Ik?Bk）ρAB（Ik?Bk）／pk是在得到結果k在B 的概率pk＝tr［（Ik?Bk）ρAB（Ik?Bk）］之后對A投影度量態，Ik是子系統A 的恒等運算．當子系統B中描述二維希爾伯特空間｛｜0〉，｜1〉｝時，局部度量的完全集由｛Bk＝V｜k〉｜k〉V＋，（k＝0，1）｝給出，這里任意幺正變換V（θ，φ）（其中θ∈［0，π］，φ∈［0，2π］）為

2 結果及其討論

非勻強磁場中各向異性的2量子比特－維海森堡XXZ自旋鏈的哈密頓量為

式中：J和Jz為自旋耦合系數，J＞0和Jz＞0對應反鐵磁情況，而J＜0和Jz＜0對應鐵磁情況；B為Z方向上均勻磁場；b為Z方向上的非均勻磁場，b值控制其非均勻磁場的梯度，并且σi（i＝x，y，z）是泡利矩陣．

密度矩陣ρAB＝exp（－H／kT）／Z描述在溫度為T 下的熱（正則系綜）平衡系統．式中：Z＝tr｛exp（－H／kT）｝是一個配分函數；k是玻耳茲曼常數，為了簡單起見，假定k＝1．因此，在基矢｛｜00〉，｜01〉，｜10〉，｜11〉｝中，式（6）具有以下形式

通過哈密頓量H可以得到這些非零矩陣元素的精確值為

通常情況下，量子失協難以計算，并且無法得到解析解．對于密度矩陣（7）描述的X狀態，如果

圖1描繪了量子糾纏量子糾纏concurrence和量子失協QD在不同溫度T下的關系．從圖中可以看出，在以下3種情況下：（1）無外加磁場（B＝0，b＝0）；（2）均勻磁場（B＝2，b＝0）；（3）非均勻磁場（B＝2，b＝5），量子糾纏concurrence和量子失協QD都隨溫度T的增加而減小．這種行為的原因是最大糾纏態與其他態的混合而引起的．然而，顯而易見的是，它們之間存在著一定的差異：量子糾纏concurrence的值在臨界溫度處下降到零時，而量子失協QD隨著溫度T漸近地下降到零．由于沒有引進退相干，量子關聯不會消失．所以在這個意義上說，量子失協在有限溫度下比量子糾纏更強大，在量子計算和量子通訊中比量子糾纏更現實．從圖1中還可以發現，外加磁場，不管是均勻的還是非均勻的，對量子糾纏和量子失協都有比較顯著的影響．而且從圖1a）中還可以看出，均勻磁場B并不能改變臨界溫度T的值，而非均勻磁場b可以增加臨界溫度T的值．從這一點可以得到：非均勻磁場在有限溫度下有益于量子糾纏．（注：所有參數都為量綱一量化，圖1～4中的所有參數都同樣為量綱一量化．）

圖1 與溫度T的關系（J＝1，Jz＝0．5）

圖2 與均勻磁場B的關系（J＝1，Jz＝0．5，b＝0）

圖3 與非均勻磁場b的關系（J＝1，Jz＝0．5，B＝0）

接下來繼續討論外加磁場（均勻和非均勻）對量子糾纏和量子失協的影響．圖2描述的是均勻磁場下的情況；圖3描述的是非均勻磁場的情況．從圖中可以看出：量子糾纏concurrence和量子失協QD都關于均勻磁場｜B｜和非均勻磁場｜b｜在零點處對稱，但兩者有明顯的不同：（1）對于在均勻磁場情況下，如圖2所示，無論溫度T如何變化，量子糾纏concurrence和量子失協QD都隨著｜B｜的增加而減小；當然在溫度T超過溫度臨界點的時候，量子糾纏消失，其concurrence值為0，比如圖2中的較高溫度曲線T＝2．0，而這種情況下在量子失協上不存在；（2）對于在非均勻情況下，如圖3所示，在較低溫度下，圖3中的較低溫度曲線T＝0．5，量子糾纏concurrence和量子失協QD都隨著｜b｜的增加而較小，兩者的變化趨勢是相同的．但隨著溫度T的增加，如圖3所示，兩者有明顯的差別：量子失協QD依然隨著｜b｜的增加而減小，而量子糾纏concurrence隨著｜b｜的增加先增加到最大值，然后再隨著｜b｜的增加而減小，concurrence最初值甚至從0開始．因此可以找到一個在量子糾纏concurrence增加而量子失協QD減小的區域，甚至是沒有量子糾纏而量子失協依然存在的區域．這是一個非常有趣的現象，可以理解為：在溫度T達到一個合適的值時，一個合適的外加場可以部分消弱熱漲落的破壞性影響而增強量子糾纏．

圖4 與自旋耦合系數Jz 的關系（J＝1，Jz＝0．5，T＝1．0）

最后討論在不同磁場情況下量子糾纏concurrence和量子失協QD與自旋耦合系數Jz的關系．從圖4a）中，無論是有無外加磁場，或外加磁場無論是是均勻的還是非均勻的，都可以發現：當Jz從正值到負值變化時，其量子糾纏concurrence的值也在減少，并在Jz的臨界值時，下降到0．同時增加非均勻磁場b的值時，可以增加｜Jz｜的臨界值．但在無外加非均勻磁場的情況下，均勻磁場的增加并不能改變｜Jz｜的臨界值．從圖4b）中，很容易發現：在無外加磁場的情況（B＝0，b＝0）下，量子失協QD在｜Jz｜＝±1處產生突變，這表征在此處發生量子相變，即使是在有限溫度下（通常量子相變發生在T＝0處）．因此，與圖4a）相比，在有限溫度下，可以用量子失協QD來檢測量子相變，而量子糾纏concurrence卻不能．可見，量子失協QD對于在實驗上檢測量子相變有重要意義．在有外加磁場（無論是均勻還是非均勻）的情況下，量子失協發生突變的Jz的臨界值向Jz＞1或者Jz＜－1兩端變化，這表明量子失協依然可以用來檢測量子相變．但隨著外加磁場的增加，可以發現，量子失協QD的突變在漸漸消失，這表明量子相變會在外加磁場的影響下消失．

3 結束語

本文研究了外加非均勻磁場下一維兩量子比特Heisenberg XXZ自旋鏈中的熱量子失協，討論了溫度T和外加磁場（包括均勻磁場和非均勻磁場）對其量子失協的影響，并比較了量子糾纏和量子失協兩者之間的差異．結果表明：在相同的物理參數范圍中，導致量子糾纏猝死的這些因素僅僅加速量子失協的衰變，而當量子糾纏消失時，量子失協會呈現無限趨近于0而不會消失的現象．因此，量子失協在退相干環境下比量子糾纏更強大，在量子關聯度量中比量子糾纏更普遍，在量子計算和量子通信中比量子糾纏更實用．

［1］NIELSEN M A，CHUANG I L．Quantum computation information［M］．Cambridge：Cambridge University Press，2000．

［2］OLLIVIER H，ZUREK W H．Quantum discord：a measure of the quantumness correlations［J］．Phys．Rev．Lett．，2001，88：017901－1－4．

［3］WERLANG T，RIGOLIN G．Thermal and magnetic quantum discord in Heisenberg models［J］．Phys．Rev．A，2001，81：044101－1－4．

［4］WERLANG T，TRIPPE C，RIBEIRO G A P，et al．Quantum correlations in spin chains at finite temperatures and quantum phase transitions ［J］．Phys．Rev．Lett．，2010，105：095702－1－4．

［5］GUO J L，MI Y J，ZHANG J，et al．Thermal quantum discord of spins in an inhomogeneous magnetic field［J］．J．Phys．B：At．Mol．Opt．Phys．，2011，44：065504－1－6．

［6］WOOTTERS W K．Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits［J］．Phys．Rev．Lett．，1998，80：2245－2248．

［7］GROISMAN B，POPESCU S，WINTER A．Quantum，classical，and total amount of correlations in a quantum state ［J］．Phys．Rev．A，2005，72：032317－1－11．

［8］WANG C Z，LI C X，NIE L Y，et al．Classical correlation and quantum discord mediated by cavity in two coupled qubits ［J］．J．Phys．B：At．Mol．Opt．Phys．，2011，44：015503－1－9．