讀懂教材之意體悟理念之真
——記“數列”第一課時教學的心路歷程

2012-01-28 11:43:51天水市第一中學甘肅天水741000

中學教研(數學) 2012年10期

● (天水市第一中學甘肅天水 741000)

讀懂教材之意體悟理念之真——記“數列”第一課時教學的心路歷程

●宮前長(天水市第一中學甘肅天水 741000)

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.高中數學課程標準實驗教科書人教A版《數學》(必修5)的第2章“數列”，只要認真讀懂教材內容，就能抓住編者的編排意圖，體悟“現實問題情境——數學模型——應用于現實問題”的特點，加強數學知識內容之間的相互聯系，強化學生的數學探究活動，自然地形成突出數學思想方法的教學.高效教學就是在研讀教材中形成的.

1 集體備課，提出問題

“數列的概念與簡單表示法”是“數列”的第一課時，數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.新課標要求保證基本訓練和必要練習來掌握數列中各量之間的基本關系，同時要控制難度及復雜程度.因此，“數列”第一課時的教學在新課標理念的指導下，如何進行準確定位、把握就顯得尤為重要.

2 初步備課，理清編排

2.1 讀懂章頭圖

章頭圖中的圖形刻畫與文字說明非常生動：“有人說，大自然是懂數學的.不知你注意過沒有，樹木的分杈、花瓣的數量、植物種子的排列都遵循了某種數學規律.”章頭圖的刻畫更加生動地展現了大自然中具有數學規律的圖形，接著采用文字說明來揭示大自然圖形的這種規律與數列之間的關系.讀完奇妙圖形，令人賞心悅目.難怪哲學家黑格爾說：“美只能在形象中出現”.形象美不只是體現在文學和藝術中，更體現在數學之中.

在教學時，教師給學生展示部分章頭圖的實物，增強學生對大自然的熱愛.如章頭圖中的向日葵，其花盤上的種子是螺旋排列的.這種排列有時是21個順時針，有時是34個逆時針,有時是34個順時針，有時是55個逆時針.這樣的一些數字就組成了一個數列，即為1，2,3,5,8,13,21,34,55,89，…,發現每一個數是前面的2個數之和,這就是著名的裴波那契數列.

向日葵的種子數目為什么這樣排列？科學家苦思幾個世紀，直到1992年，法國數學家才給出令人滿意的解釋.

2.2 梳理教材思路

備課組在討論“數列”概念的教學設計時，提出是否需要重視章頭圖的問題.對于這個問題，必須從讀懂教材的編排思路及所貫徹的新課程理念，才能更好地做到從教材思路到教學思路的過渡，也能體現新課程要求，否則，新課程的實施便“形同虛設”.“數列”章頭圖在新教材中的有意編排，是專家為了讓學生對數列問題有一個更深刻的認識和理解，可謂是匠心獨運.在教學時，這個問題不能忽視，應該給予重視.編排的微妙變化，讓我們更好地體悟到數學的精妙之處.

教材用2個課時完成“數列的概念與簡單表示法”的教學.教材的安排是：加強對數列概念的直觀感知，通過對種子、花瓣、果鱗數目的統計實例引出問題；再從三角形數、正方形數等實例入手，引出數列的概念，指出數列實際就是按照一定順序排列著的一列數；然后又從函數的角度，將數列看成是定義在正整數集或其有限子集上的函數.通過數列的列表、圖像、通項公式等幾種簡單表示法，進一步體會數列是一種函數，是刻畫離散過程的一種重要數學模型.

教材的編排和呈現方式，讓學生體會到數列是一種特殊的函數，從而加深對函數概念和性質的理解，讓學生對數列的本質有清晰地認識和把握.同時學生通過數列概念的引入以及數列應用的過程，體會數列問題的實際應用，提高對本章內容的學習興趣，為學習等差數列、等比數列的通項公式及前n項求和公式做鋪墊.

2.3 確定教學重點

筆者認真研究了新課標，也認真地對必修5模塊中的內容編排進行了思考，揣摩了新課程教材在內容上分層次設計進行編排的特點.“數列”第一課時在教學中如何定位，是以數列概念的形成和求數列的通項公式為重？還是以求數列的通項公式與遞推公式為重？其中理解數列的函數特性是必要的，在教學時應如何進行安排，才能收獲更多.

不論是以概念的形成和求數列的通項公式為重，還是以求數列的通項公式與遞推公式為重，都涉及數列的概念形成，只是側重點不同而已.前者注重從章頭圖中通過分析、觀察，引入數列，加深了數列中隱含的“函數”意義，自然引出求通項公式；后者注重通過觀察數列，發現、歸納出數列的通項公式及遞推公式.因此，如何對待通項公式是本節課的關鍵.

集體備課時，教師對這部分內容的處理意見不統一：一部分教師維護大綱教材，強調通項公式和遞推公式，提出需要強化訓練，強化理解，沒有必要花力氣在數列的形成上，直接給出數列就行了；另一部分教師提出新教材中對數列的編排方式體現了新課程的理念，是經過課改實驗區的經驗進行多次修訂的，沒有必要提前對遞推公式進行訓練，否則會增加學生的學習負擔.

查閱北師大版《數學》(必修5)“數列”內容，教材安排了2個課時(數列的概念與數列的函數特性),強調重視章頭語內容的教學,即從數學史上的一個真實故事出發，引出數列的內容.又將數列的函數特性專門列為一個小節，目的是讓學生深刻理解“數列是一種特殊函數”.

通過對2種版本教材的對比，人教A版《數學》(必修5)“數列”第一課時的重點應放在“概念的形成和求數列的通項公式”以及“理解數列是一種特殊函數”的層面.這樣做，既體現了“螺旋式上升”的思想，也符合學生“循序漸進”的認知規律.

3 對比研究,把握整體

筆者查閱了教師參考用書，書中表明用2個課時完成“數列的概念與簡單表示法”的教學.基于前面的分析，再加上2個課時的時間分配，該如何把握本節課的教學？備課組通過對比新教材與大綱教材的編排，尋求解決問題的辦法.

3.1 對比教學目標的變化

《大綱》教學目標理解數列的概念，了解數列通項公式的意義；了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項.

《課標》教學目標通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)；了解數列是一種特殊函數．

兩者對比新課標要求通過日常生活中的實例，了解數列的概念.雖然對“數列是一種特殊函數”的要求是處于了解層次，但確定了基準，也恰好體現了新課程的理念,充分讓學生體會“數列是一種特殊函數”.從某種意義上更加突出強調了數列本身是一個數學研究對象，又是刻畫實際問題的重要模型.

因此，對數列第一課時的教學目標確定為：通過日常生活中實例的觀察，寫出一列數；了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像)；體會數列是一種特殊的函數．

3.2 在教材中的分布情況

教師對教材的結構體系以及內容編排應有整體的把握，要明白新課程理念在教材中的凸顯之處.在教學時，教師要認真鉆研教材，深刻領會教材的編排意圖及課標理念，要依據知識的螺旋上升安排而循序漸進，以“螺旋上升”、“分步到位”的教學原則，適應學生的思維發展水平，促進學生能力的發展.

課標中的數列內容是分層、分段設計的，在人教A版《數學》(必修5)“數列”中，主要通過對一般數列的研究，轉入對等差數列、等比數列的通項公式及前n項求和公式的研究，數列的應用在人教A版《數學》(選修4-3)的“數列與分差”中.

明確數列的階段性要求和終結性要求，才能整體把握數列的課標要求.通過重視數列概念引入以及數列應用的過程，體會數列問題的實際應用，提高學生對本章內容的學習興趣，為轉入對等差數列、等比數列的通項公式及前n項求和公式的研究，也為后續學習“數列與分差”做好鋪墊.

等差數列、等比數列的學習需要“數列”的概念來做鋪墊.在“數列”概念的教學中，讓學生體會數列離散性的根源是自然數的離散性.在教學時,除了強調從日常生活中的實際問題分析建立數列模型，還要集中力量探究“數列是一種特殊函數”這個重點目標，讓學生在經歷中體會、在生成中思維.將“數列”分散在必修與選修課程凸現了教材的編寫,與人們的認知規律達到和諧、統一地“螺旋式上升”理念是一致的.

3.3 在認知、能力上的要求

從知識的認知情境看，設置了問題的情境，注重從生活實踐、數學研究,再到數學教育，從直觀感知到抽象理解再到數學教育的方式引導學生學習數列；從知識的量化看，數列概念的學習在人教A版《數學》(必修5)中沒有作為重點，只是注重概念的形成，但強調從日常生活中的實例引入，足以說明章頭圖的重要性.師生通過對大量實物的觀察更好地了解數列，真正體會和了解“數列是一種特殊函數”.

從能力的立意與提升看，教材凸現了觀察、分析、探索、轉化、歸納能力，體現了特殊到一般、一般到特殊、數形結合、算法與方程思想.數列的學習讓學生開闊了視野，拓展了思維，提升了能力.

課前認真學習新課標和新教材之后，結合集體備課的智慧及研究的對策，并對《數學》(必修5)與《數學》(選修4-3)進行整體分析、把握，才能做到“用教材”教.

3.4 確定教學預設線路圖

(1)創設情境,感受概念：給出3種情境(生活、科學、數學)，感受“數”有“順序”；并要求概括特征：“數”有“順序”.

(2)數學建構，形成概念：經歷3種情境，啟發引導學生把握情境所揭示的數學本質特征；給出數列的概念；學習求通項公式的方法：畫出數列圖像—猜想數列是函數—驗證猜想—形成并求得通項公式.

(3)數學運用，鞏固概念:由通項求前幾項、列表、畫圖像；判斷某項是否是數列的項；例、習題處理：觀察歸納數列的通項公式(重點).

(4)回顧反思，深化概念：學生總結學到什么，有哪些收獲？然后布置作業.

4 教學片斷回放

師：大家看教材第34頁B組第一題：下圖中的3個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前3項.請寫出這個數列的前5項和數列的通項公式(通過實例引入數列概念時，舉例較多，學生對此題的認識和解答很好).

生甲：(學生自己積極舉手)老師，觀察前3個圖形，容易得到它們的正方形數目分別是1,9,73.

師：你是如何快速算出第3個圖形中正方形的總數的？

生甲：我是將第3個圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進行計算的：將其中最大的一個正方形拔到高處屬于第1層(塔頂)；再將周圍較大的8個正方形拔到較高位置屬于第2層；再將周圍較大的每個正方形周圍的最小的8個正方形拔到更高位置屬于第3層(塔底).這樣就可以得到a3=1+8+82=73.

師：學生甲的思路和方法太精妙了！那么第4個、第5個圖形中的正方形數是多少？

生甲：a4=1+8+82+83；a5=1+8+82+83+84.

教室里頓時響起掌聲！接著學生甲高興地總結出數列的通項公式是

an=1+8+82+83+…+8n-1.

師：學生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”至三維空間圖形觀察，思維敏捷，奇思異想，以后大家要向學生甲學習.

(教師點評剛結束，學生乙舉手.)

生乙：我觀察學生甲歸納出的通項公式，有新的發現，第3個圖形中的正方形總數可以改寫為a3=82+8+1=111(8)=73,從而依次就有

a4=83+82+8+1(個)=1 111(8)；

a5=84+83+82+8+1(個)=11 111(8)，

這樣做就能依據學生甲歸納出的通項公式的結構特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來，即an=111…11(8)，其中有n個“1”.

師：多么簡潔、簡單的表示，這正是數學追求的形式美.學生乙很細心，將前面學過的算法記得很清楚，又能靈活應用，可喜可賀！本節課，大家對數列概念的形成和通項公式的歸納學得很好，尤其是學生甲、乙，他們對習題第34頁B組第1題的通項公式有獨到見解，非常精彩.以后大家多交流、多合作，一定會有新的發現、新的收獲！

課后，筆者對本節課中學生精彩的想法、完美的認識和簡單大氣的表示進行了思考：新教材是專家精心打造的精品，其中數與形的完美結合，在學生觀察思考后，產生出精妙的思想火花，再細細品讀教材中的習題，每一道都有或多或少的亮點在閃爍，深深地感到數學的無窮魅力與精彩.

5 教學后的反思

教師從讀懂教材起步，做到讓自己的教學設計能更好地體現新課程的目標要求.通過實施教學，不斷消除對教材目標把握的誤差，進一步感悟教材中隱藏的課標理念，逐步達到高效教學.

5.1 讀懂教材,把握目標

新課程數學學科分為必修與選修，內容編排有“螺旋上升”的特點，模塊間既有知識的順序結構，又有獨立成塊的特色.這就要求教師首先讀懂教材(包含教材的各種圖形)，即理清教材的編排思路及編寫意圖，更要讀懂教學內容的編排意圖和知識在必修與選修中的處理策略，領會教材的整體設計意圖.研讀教材的過程，就是感悟理念，消除對教材目標把握的誤差的過程.

教材是解讀課標的范本，也是貫徹課標的一個測量標準.數列在課標教材中分成2個部分：“數列”(必修5)和“數列與分差”(選修4-3)，體現了分階段、分層次、多角度的知識網絡和“螺旋式上升”的認知規律.

5.2 研讀課標,定位目標

課程標準就是“綱”，對數學教學活動提出的目標要求.課標提出：“高中數學課程應返璞歸真，努力揭示數學概念的發展過程和本質，使學生理解數學概念逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法；教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.”

在“數列”概念的形成過程中，蘊含著觀察、分析、探索、轉化、類比、歸納等能力，體現了從特殊到一般、一般到特殊的重要數學思想方法.課標是教學的基本依據，務必認真、反復地研讀，深刻領會、把握課標的精神，領悟新課改的理念，準確理解課標對具體教學內容的要求.總之，教學必須以課標為“綱”，用心琢磨，梳理輕重，真實地貫徹新課改的精神和課標的理念.

5.3 研究概念,凸顯核心

探究數學概念的生成是教師教學首先要思考的問題.數學核心概念是學生對數學思想方法領悟的前提，也是體驗數學探究、數學創造的入手之處，更是教師進行有效教學的最佳題材.

“數列”教學中的的核心概念就是“數列”，從而在教學設計中，“數列是一類特殊的函數”即數列的項是函數值、序號是自變量，以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點.

本章內容的設計，突出了數列的函數背景，在通過實際問題引入數列概念后，教材對其函數背景進行了分析，指出通項公式實際可看作是數列的函數解析式.接著對等差數列與等比數列的概念、通項公式、求和公式進行研究，也是類比函數展開的：首先，它們是特殊數列，也是特殊函數，等差數列實際是一次型函數，是最簡單的遞推數列，等比數列實際是指數型函數；其次，它們具有函數的一般性質，都借助了數形結合的思想研究問題，但研究的側重點有所不同.

5.4 研究習題,提高效率

教材中探究題、練習題的素材很多來源于古代或現實的生活情境：一方面加強了與實際生活的聯系；另一方面可以提高學生學習本章內容的興趣.在教學中，教師要注意相關內容的知識準備、問題解答和拓廣的準備.

如教材第34頁B組第1題,教學參考書中介紹用遞推公式得通項公式，而學生甲提出分層立體觀圖法，學生乙根據通項公式的結構特征，借助進位制的思想將通項公式具體地表示出來.多么簡潔的表示，這正是數學要追求的形式美.

詳盡挖掘新課標教材的編排特征，從讀懂教材起步，加強對教材的鉆研，領會課標理念，力爭用“用教材”教學，對部分教學內容重新優化，從而增強學生自主學習的積極性，學生由學會學習到自覺學習，提高課堂教學效率，也就徹底貫徹了新課標的理念.通過集體備課，集思廣益，深化對教學內容的理解，有利于準確地把握和定位教學目標.