軟繩從桌面或滑輪上滑落問題的深度分析

2012-01-23 04:52:20曲顯林

物理通報 2012年2期

曲顯林

(上海市閘北區第八中學上海 200443)

軟繩從桌面或滑輪上滑落問題在中學物理習題中比較常見，很多教師都會把這兩類問題作為典型例題,但是對這類題目的分析過程通常不夠科學、嚴謹.文章就這兩類問題做深度分析.

1 轉角處摩擦力能夠忽略嗎

【例1】(西安市1991年高中物理競賽試題)如圖1所示,一根長為1 m的勻質柔軟鏈條,一部分垂在桌沿下面,一部分放在桌面上,垂下部分的最大長度為0.2 m，則鏈條與桌面間摩擦因數為______；若此時稍有擾動鏈條就會滑離桌面,當鏈條全部滑出桌面時的速度為______(g取10 m/s2).

圖1

原解：設鏈條單位長度的質量為ρl；分別用L和l表示整個鏈條的長度和垂下部分的最大長度，用v表示鏈條全部滑出桌面時的速度.

鏈條垂在桌沿下面部分的重力為G1=ρlgl，桌面上的部分重力為G2=ρlg(L-l)，整個鏈條質量為m=ρlL，則對整個鏈條有

ρlgl=μρlg(L-l)

代入數據得

鏈條在逐漸滑離桌面的過程中，在桌面上的部分所受的摩擦力與其在桌面上的長度成正比，由能量守恒定律得

代入數據得

上面的分析過程中沒有考慮轉角的摩擦力，可能是考慮到轉角很小，此處摩擦力及摩擦力做的功均可忽略不計.類似的例子在同類問題中很普遍.

【例2】水平桌面上放著一根伸長的均勻柔軟繩,繩的一端挨著桌面上的一個小孔.繩長為L，質量為m.一根輕繩通過小孔與繩頭相連接，下端懸掛著一個質量為m的物體，如圖2.開始時用手按著柔軟繩尾使它保持靜止，然后放開手讓其運動.設繩與桌面間的摩擦因數為μ，求繩尾滑到桌上的小孔時，繩和物體的速度大小.

圖2

這一結果也是運用能量守恒定律,忽略在轉角處摩擦力做的功時得出的.

有什么理由忽略轉角處的摩擦力及摩擦力做功呢？在運用物理規律解決實際問題的時候，原則上是可以忽略一些次要的因素，做近似處理，前提是忽略的必須是相比之下不在一個數量級的小量，但不能人為地略去相比之下在同一個數量級的量.那么,軟繩在轉角處的摩擦力與桌面上的部分相比是否可以忽略？如果計算過程漏掉了轉角處的摩擦力對計算結果會有多大影響呢？

為了弄清上面的問題，可先研究一下纏繞在圓柱上的繩子兩端張力之間的關系.假設，有一條輕繩纏繞在半徑為R的圓柱上，繩子和柱子之間的摩擦因數為μ，繩子與圓柱接觸部分的弧所對應的圓心角為θ0.設在繩子的A端施加拉力TA后,為使繩子恰好不發生滑動需在B端至少加拉力為TB，如圖 3 所示. (顯然TA>TB)

圖3 圖4

繩子繞到柱子上后，因為摩擦力的累積作用TA和TB的關系會隨繩與柱子之間相互接觸長度的變化而變化.先在繩子上取一段微圓弧，對這段圓弧進行受力分析.如圖4所示，考慮θ角處所對應的圓心張角dθ的一段繩子dl.繩子的重力可以忽略，該微元繩段共受到四個力的作用，微元兩端的張力T(θ)，T(θ+dθ),法線方向圓柱對繩子的支持N，繩子與柱子之間的摩擦力為f=μN，微元處于平衡狀態;其法線和切線方向的分力分別為

(1)

(2)

因為 dθ很小，可以做如下近似處理

T(θ+dθ)+T(θ)≈2T

所以，式(1)變為

T(θ+dθ)-T(θ)+μN=0

(3)

所以

令T(θ+dθ)-T(θ)=dT，上述(2)、(3)兩式可改寫為

dT=-μN

(4)

Tdθ=N