兩質點孤立系統相對動力學方程及其應用

朱文惠 許冬保

(九江市廬山區第二中學 江西 九江 332000) (九江市第一中學 江西 九江 332000)

兩質點孤立系統是最簡單的質點系統;通常將兩個質點孤立系統的問題稱為“兩體問題”．兩體問題是質點系動力學的一個特例，可以歸結為質點動力學問題．本文在導出兩質點孤立系統相對動力學方程的基礎上，通過例題展示其應用．

1 相對動力學方程

如圖1所示，質點1，2以慣性系中的固定點O為原點的位矢分別為r1，r2，質量分別為m1，m2，并假設質點2施于質點1的作用力記為F12，質點1施于質點2的作用力記為F21.設這兩個力滿足牛頓第三定律．分別列出質點的動力學方程

圖1 慣性系中兩質點位矢的受力分析

(1)

(2)

引入相對位矢r=r1-r2,以m1除式(1)，m2除式(2)，并相減，得

即

(3)

2 相對動力學方程的意義以及推論

2.1 相對動力學方程的意義

2.2 推論

(1)兩體問題可以等效為質量為μ的單個質點的運動問題與質量為(m1+m2)的質心運動問題．

若F12只是r的函數，則質點1相對質點2的運動是在有心力作用下的運動，角動量守恒．因此，開普勒第二定律無需修正．

(2)式(3)等價于質點1或質點2在質心系中的動力學方程．

圖2 兩質點系統質心位矢分析

如圖2所示，對兩質點孤立系統，質點1,2及質心C共線．質心的位矢

(4)

(5)

于是式(3)改寫為

即

(6)

式(6)分別為質點1、質點2在質心系(質心系是慣性系)中的動力學方程．

(3)質點的相對運動與質點相對質心的運動可以利用r=r1-r2以及式(4)(取R=0)而變換．

由式(5)可知，質點相對質心的位矢與相對位矢，方向相同或相反，比值恒定，兩者運動類型相同．例如，行星繞太陽的運動是橢圓軌道，太陽位于橢圓的一個焦點上，而太陽的運動也是橢圓軌道，質心位于橢圓的一個焦點上．因此，開普勒第一定律仍然成立．

3 相對動力學方程的應用

3.1 有心力場中的應用

所謂有心力，就是方向始終指向(或背向)固定中心的力，該固定中心稱為力心．如果有心力的大小僅與考察點至力心的距離有關，則稱為各向同性有心力，或保守有心力，簡稱有心力．有心力可以是引力也可以是斥力．一般討論質點在中心對稱的有心力作用下的運動，有心力存在的空間稱為有心力場．

解法一：常規解法

因地球受月球的引力作用，月球受到地球的引力作用，它們相對慣性系都有加速度，故都不是慣性參考系，牛頓第二定律不成立.如果要在非慣性參考系中應用牛頓第二定律，必須引入相應的慣性力.而這兩位學生都未引入慣性力，所以他們得到的結果原則上都是錯誤的．

(7)

加速度的方向指向月球．相對地心參考系，月球受到慣性力作用，其大小

(8)

方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同．若月球相對地心系的加速度為am，則有

(9)

由式(7)、(8)、(9)，得

(10)

加速度的方向指向地球．

(11)

加速度的方向指向地球．相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小

(12)

方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向相同．若地球相對月心系的加速度為ae，則有

(13)

由式(11)、(12)、(13)得

(14)

加速度的方向指向月球．式(4)與式(8)表明，地球相對月心系的加速度ae與月球相對地心系的加速度am大小相等，方向相反，與運動的相對性一致．

解法二：相對動力學方程求解

圖3 地球、月球系統

如圖3所示，地球與月球均繞共同的質心O做勻速圓周運動.無論以地球還是以月球為參考系，由萬有引力定律及相對動力學方程，有

μ為約化質量

解得

式中a既是地球相對月球的加速度大小，也是月球相對地球的加速度大小．

點評：質點在有心力場中的運動問題比較常見.該例中，地球的質量約為月球質量的81倍，可近似視為引力中心，一般問題可以這樣估算．如果同時考慮地球、月球的運動，則簡化為月球繞地球(或地球繞月球)的相對運動來處理，應用相對動力學方程求解比較簡便．

3.2 碰撞問題中的應用

碰撞是自然界中最常見的相互作用表現形式.兩物體的碰撞，如果除碰撞之間的內力之外沒有其他外力作用，則系統動量及能量守恒．簡化單體運動可以方便地處理碰撞問題．

【例2】兩個完全相同的滑塊a和b，其質量均為m，用輕彈簧將它們連接在一起.彈簧的原長為l，勁度系數為κ.將整個系統放在一光滑的水平直軌道上，并保持靜止．在某個時刻(記作t=0)，突然給滑塊a一個沖量，使它獲得向右的初速度v0，求解它們的運動．

圖4 滑塊a,b處在一維坐標系中

解析：選擇地面為參考系，取滑塊運動的直軌道為x軸，向右為正，如圖4．某時刻t滑塊a和b的坐標分別記為xa和xb，彈簧的彈力為κ(xa-xb-l)，則兩滑塊的動力學方程分別為

研究它們的質心x0的運動.質心坐標

系統所受合外力為零.由質心運動定律，知質心速度不變，質心速度為

兩個方程中含有未知量xa,xb，不便求解.由于系統在豎直方向合力為零，與孤立系統無異，因此可簡化為單體運動來處理.

圖5 以滑塊a為質點的一維坐標系

約化質量

于是相對動力學方程改寫為

這是典型的諧振動方程，其解為

角頻率為

A和φ為由初始條件決定的待定常量．

0=Acosφv0=-Aωsinφ

解得

于是滑塊a相對于滑塊b的運動

回到地面參考系，變換得

圖6 滑塊a,b速度圖像

點評：經典力學中，對質點系統的分析通常簡化為質心的運動與相對質心的運動來分析．碰撞問題的分析，可以選擇地面參考系或質心系進行分析，數學運算煩瑣．根據問題的性質，如兩物體的相對距離、相對速度甚至能量損失，如果將兩物體問題化為質心運動與相對運動來研究，則求解往往比較簡單．

3.3 開普勒第三定律的修正

開普勒關于行星運動的基本規律中，前面已經論證，第一定律、第二定律無需修正．那么第三定律又是否需要修正呢？

【例3】將行星軌道視為以太陽為中心的圓，并設行星的質量m比太陽的質量M小得多，由此導出開普勒第三定律．設行星的質量并不比太陽質量小很多，即m?M并不滿足，由此討論開普勒第三定律的正確性，并以木星為例作定量說明(已知木星與太陽質量的比值為9.5×10-4)．

解析：設行星的軌道半徑為r，周期為T，太陽靜止在慣性系中.由萬有引力定律和牛頓運動定律，有

即

上式為開普勒第三定律的數學表達形式;其中k為僅與太陽質量有關的常量(即開普勒常量)，對所有行星皆相同．

當行星的質量并不比太陽質量小很多時，根據對兩體問題的討論，只要用折合質量代替行星的實際質量，行星相對太陽的運動規律不變，則

μ為約化質量.則

可見對不同的行星,k′并非同一常量，而與行星的質量有關．因此，開普勒第三定律近似正確．

以最大行星木星為例，相對差異為

則

對其他行星差異更小[3]．

點評：本例分析結果表明,開普勒第三定律近似正確．需要說明的是，有心力場中，質點相對運動的周期等于兩質點繞其共同質心運動的周期，這一觀點可以通過太陽、行星系統進行驗證．

綜上所述，兩質點孤立系統問題可以歸結為質點動力學問題，即質心運動方程式和相對運動方程式;并且動能、角動量也有同樣的規律．

參考文獻

1 程稼夫．中學奧林匹克物理教程(力學篇)．合肥：中國科學技術大學出版社，2002.234～236

2 梁昆淼．力學(上冊，第四版)．北京：高等教育出版社，2010.186～188

3 鄭永令,等．力學(第二版)．北京：高等教育出版社，2002.232～233