空中打靶實驗儀器的改進與測量

王艷萍倪敏

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

1 引言

伽利略在研究拋射體時發現拋物體同時具有兩種運動方式：一種是水平方向的勻速直線運動，一種是豎直方向的自由落體運動;拋物體行駛的路徑是兩種運動的組合.為驗證拋物體理論，伽利略從桌面邊緣推出一個小球，并且記錄落地點，結果發現拋物體所走的路徑是一種稱為“拋物線”的曲線.伽利略發現的拋物體理論，解決了如何計算炮彈飛行的路徑問題.

空中打靶實驗可以測試并驗證拋射體的運動規律是否與拋射體理論相符合.本文的創新之處在于對實驗儀器進行了改進，增加攝像頭、激光瞄準器、球形收集器以及改良發射裝置.通過對空中打靶實驗儀器的改進，可使實驗便于操作，使測試者得到更準確的實驗結果，從而更好地研究實驗現象.

2 實驗原理

2.1 拋射體運動原理

彈道學研究指出，在忽略地球自轉引起的科里奧利效應，以及空氣摩擦損耗的影響下，拋射體從發射點到著落點的運動狀態和軌跡與拋射體的初速度v0，發射仰角α，重力加速度g和飛行時間t有關.設拋射體的發射點為坐標的原點，在xOy平面上運動，如圖1所示[1].

當拋射體以初速度v0和仰角α射出，則拋射體t時刻的速度為

v=v0cosαi+(v0sinα-gt)j

(1)

圖1 xOy平面上拋射體小球的運動示意圖

設拋射體發射時間t后坐標為(x，y)則

x=v0tcosα

(2)

(3)

將式(2)、(3)合并消去t后，得拋射體的運動軌跡為

(4)

由式(4)可知，當y=0時，可得拋射體的射程l為

(5)

(6)

由(1)式可見，當忽略外界的影響時，拋射體的運動軌跡為拋物線[2].

由(5)式可見，當初速度v0一定，拋射仰角α為45°時，拋射體的射程最遠，即

(7)

2.2 斜拋小球與自由落體目標小球碰撞

若目標小球從H處開始自由下落，同時拋射體小球發射對其進行攔截.在方向準確的前提下，經過時間t后，拋射體與目標小球在空中發生碰撞，目標小球被擊中，如圖2所示.此時拋射體在豎直方向上的運動高度為[3]

(8)

圖2 拋射體與目標小球在空中發生碰撞

拋射體擊中目標小球時水平位移為拋射體發射初位置到目標小球的水平距離

s=v0tcosα

(9)

被擊中時目標小球的下落高度為

(10)

由式(8)、(10)可知，目標小球初始高度H為

H=y1+y2

即H=v0tsinα

(11)

H=stanα

(12)

由以上推導可見，目標小球的下落直線處在拋射體的拋射面內，測量目標小球的初始高度H和拋射體距離目標小球的水平距離s，通過式(12)可得出拋射仰角α.通過式(12)還可以看出拋射體能否擊中目標小球與拋射體的初速度v0無關[4].

3 實驗裝置的改進

3.1 萊寶公司生產的實驗裝置的缺點

(1)依靠目測很難精確地使拋射小球和自由落體小球處于同一平面.

(2)發射小球時，手容易被發射桿夾傷.

(3)兩個小球在發射后不論是否發生碰撞，都會四處飛逸，不容易收集.

(4)碰撞發生的時間極短，肉眼無法確定小球是否發生了碰撞[5].

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原來做類似實驗時所用的儀器是德國萊寶公司生產的一套斜拋發射實驗裝置，如圖3所示，包括的設備有：電磁鐵，立柱，彈射器(由彈射裝置，定位片和發拋射桿組成)，電源控制箱，小球若干，水平儀1只，鋼尺1把和導線若干[6].

圖3 萊寶公司生產的斜拋發射實驗裝置

3.2 實驗改進

(1)在彈射器小球發射經過的平面內安裝激光瞄準器，激光通過特殊的透鏡射到物體上呈現豎直的直線，所以只要在電磁鐵裝置上刻上豎直對準線，便可保證下落小球與出射小球處于同一平面內.

(2)對發射桿和定位片的位置進行了改造，使手不易被夾到.

(3)在下落小球下方安裝了球形收集器，透明中空.調節高度使斜拋小球與自由落體小球在收集器中相撞，相撞后落入收集器，不會到處亂滾.

(4)為能觀察到碰撞瞬間安裝了攝像頭，以及與之一同使用的計算機處理軟件，來分析得到的視頻圖像.另外，由于金屬小球反光會影響到拍攝的清晰度，特將小球涂成黑色[7].

改進后的斜拋發射實驗裝置如圖4所示.

圖4 改進后的斜拋發射實驗裝置圖

3.3 實驗裝置

拋射體彈射裝置，激光準直器，電磁鐵裝置，同步控制裝置，球形收集器和攝像頭，沙盒，米尺等，其中目標小球和拋射小球直徑為10.0 mm.

(1)拋射體彈射裝置.拋射體拋射仰角α可在0～65.0°任意調節，大小可直接從角度讀數表讀出.拋射體拋射初速度v0大小由拋射口彈簧的壓縮形變量決定，形變越大，初速度越大;本實驗裝置有四個擋位可供選擇.

(2)球形收集器.本裝置為兩球發生碰撞的區域.上端有一小圓孔，自由落體小球可以由該孔進入.同樣，在其側面有一圓弧形狹縫供拋射小球進入.碰撞后，二球均落在球形收集器內.

4 實驗步驟

4.1 研究拋射小球射程L與初速大小及拋射仰角α的關系

(1)用C型固定器將彈射器固定到水平桌面上.

(2)將沙盒擺放在合適的位置.在初速度v0大小不變的情況下，改變拋射仰角α，使拋射體準確地射到沙盒上，測量拋射體的射程L.

(3)作L-sin2α圖，驗證L與sin2α之間的線性關系，并計算出拋射體初速度的大小.

(4)在不同角度擋位下進行上述實驗，測量不同擋位下初速度的大小，比較同樣拋射仰角下，初速度不同時的射程，驗證拋射體從發射起點到終點的運動規律[8].

4.2 拋射小球打擊自由落體小球即空中打靶實驗

(1)參照實驗原理，選擇合適的拋射仰角α，水平距離s,下落高度H的參數值.

(2)把電磁鐵固定在鐵架臺上，連接線路，如圖4所示.

(3)在激光準直器的輔助下，調整自由落體小球的位置，使小球的下落軌跡在拋射小球的拋射軌跡平面內.

(4)調整拋射仰角到一定的角度，進行攔截實驗的調試、試射.調整球形收集器的高度，使小球自由下落時，能進入收集器內；拋射小球能射入收集器內與目標小球碰撞.

(5)打開電源開關.將彈射器發射桿定位到一定的擋位，即確定拋射小球初速大小，將小球放入出射口.將另一個小球放到電磁鐵上，令電磁鐵吸住小球.將攝像頭連接計算機，打開軟件.把攝像頭固定在可以拍攝到實驗裝置和實驗過程的位置上.用攝像頭拍攝攔截過程，再用慢速播放攔截過程，觀察碰撞情況.仔細觀察并分析兩物體的運動狀態，微調水平距離s和高度H，直至拋射小球成功擊中小球.

(6)記錄小球自由下落前的高度H和小球與拋射小球的水平距離s，以及相撞后碰撞位置的高度h.在不同擋位下進行攔截實驗，驗證式(12)的正確性.分析測量值與理論值的差異.

5 實驗現象與數據分析

5.1 實驗過程

在測量射程實驗中選定了8個不同的拋射角，測量出在初速度大小相同時射程L的值,記錄如表1.可以看出當角度為45.0°時，射程最遠.打靶實驗中測定了2個拋射角，分別為45.0°和40.0°，每個拋射角選定相同的兩個擋位，分別為擋位4和擋位3，擋位4是速度最大的一擋.實驗操作中，可以通過錄像，對兩小球的軌跡進行判斷，對儀器位置、距離進行相應的微調，直到能夠打靶成功.實驗數據如表2.瞄準器高度為15.00 cm，小球球心距離立柱中心的水平距離為7.00 cm.

表1 不同拋射角對應的數據

5.2 實驗數據與分析

(1)相同初速度，不同拋射仰角下小球的射程

作L-sin2α圖，如圖5,進行線性擬合后得到斜率k=100.25，相關系數r=0.987 5.由此可得L的理論值并記錄于表1中，與實際測得的射程L進行比較.

圖5 L-sin2α線性擬合圖

已知重力加速度g=9.794 m/s2，則v0=3.13 m/s，實驗測量的小球射程和理論計算值在允許的誤差范圍內基本一致，相對誤差小于3.1%[9].

(2)不同拋射角與初速度下的空中打靶

表2 空中打靶實驗數據

據表2所列數據進行實驗，彈射體的水平射程及彈射體與小球相撞實驗，均取得與理論值較為一致的結果，從而進一步驗證了運動學一些基本公式的準確性,相對誤差小于4.8%.

(3)碰撞瞬間的視頻截圖

碰撞瞬間的視頻截圖，如圖6所示.

圖6

6 結束語

通過用改進后的斜拋實驗儀器進行測量，得到的實驗測量值與理論值基本相符.改進后的空中打靶實驗儀器能較好地驗證拋射體斜拋運動的運動規律，并能準確地對目標小球進行空中攔截,提高了空中打靶實驗的可操作性與準確性.該實驗可用于基礎物理實驗及開放性物理實驗.

參考文獻

1 李鈺,李云寶.大學物理實驗教程.北京：科學出版社，2009.257

2 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程·力學篇. 合肥：中國科學技術大學出版社,2002.15～28

3 田清鈞.基礎力學.北京：國防工業出版社，2009.100～102

4 馬世紅,童培雄,趙在忠.文科物理實驗.北京:高等教育出版社,2008.25～28

5 沈元華,陸申龍. 基礎物理實驗. 北京：高等教育出版社，2003

6 惠和興,宋克輝,吳曉麗,等. 文科大學物理. 北京：北京理工大學出版社,2005

7 吳百詩.大學物理(上冊).西安：西安交通大學出版社,2004

8 漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程·力學(第二版). 北京：高等教育出版社,2005

9 楊述武,馬葭生,賈玉民,張景泉.普通物理實驗·力學及熱學部分(第三版). 北京：高等教育出版社,2000