幾種冷門圖像在物理解題中的妙用

王坦 王金聚

(浙江省溫州中學 浙江 溫州 325000)

物理圖像具有直觀、形象、簡明的特點，能直觀地描述物理過程，形象地表達物理規(guī)律，簡潔地闡明各物理量之間的相互關系，是分析、研究問題常用的方法之一.如運動學中的v-t，x-t圖像，電學中的U-I，i-t，u-t圖像，磁學中的B-t，Ф-t圖像，熱學中的p-V，V-T，p-T圖像等，在解題中使用頻率較高.但也有一些圖像雖不太常用， 有時用起來卻往往能“手到病除”、立竿見影，起到計算法所不能及的效果，現(xiàn)舉例如下.

1 ︱v︱-t圖像

對追及、相遇問題，有時涉及多個物體、多次相遇，物理過程多,情境復雜，難以建構清晰的運動圖景.此時，恰當?shù)乩脠D像，能直觀地展示復雜的物理情境，建構清晰的運動過程，拓展思維的深度與廣度，幫助我們找到解題的切入點.

【例1】每顆子彈從槍口射出的速度大小都是30 m/s，某人每隔1 s豎直向上開一槍，假定子彈在升降過程中都不相碰，不計空氣阻力，試求：

(1)空中最多能有幾顆子彈.

(2)設t=0時將第1顆子彈射出，什么時刻與后面的子彈在空中相遇.

(3)每顆子彈分別能與幾顆子彈在空中相遇.

解析：以v表示速率，設子彈射出后經(jīng)時間t到達最高點，由v0=gt，可得t=3 s.作出子彈在空中運動的速率-時間圖像，如圖1所示.圖中圖線①、②、③……分別表示第1顆子彈、第2顆子彈、第3顆子彈……的速率-時間圖像.顯然，任意兩條圖像的交點都表示兩子彈速率相同且一升一降時的情況，交點的橫坐標表示相遇的時刻，交點的縱坐標表示相遇時的速率大小.

圖1

由圖1可知，當?shù)?顆子彈即將射出時，第1顆子彈即將落地，所以說空中最多有6顆子彈.由于升、降圖線的斜率大小都表示重力加速度g，所以升、降圖線具有左右對稱性，由圖像可以直觀地看出第1顆子彈與其他子彈相遇時所對應的是圖中的A1,A2,A3,A4,A5點，相遇的時刻分別是t=3.5 s，4 s，4.5 s，5 s，5.5 s.

由于圖線的交點都對應相遇點，顯然，只要數(shù)一下每顆子彈的速率-時間圖線與其他子彈的圖線有幾個交點，就可以得出它與幾顆子彈在空中相遇.由圖1容易數(shù)出：第1顆相遇5顆，第2顆相遇6顆，第3顆相遇7顆，第4顆相遇8顆,第5顆會相遇9顆，從第6顆開始射出的子彈都相遇10顆.

第(2)、(3)問屬于多顆子彈的相遇問題.不難想象，若采用公式計算，比較復雜.若采用我們常使用的速度-時間圖像，則各子彈的圖線也不會相交，不能用交點形象地刻畫相遇點.但巧妙地選用速率-時間圖像，相遇點的情況在圖像中一目了然，相遇的時刻及速度大小都能在坐標系中直接讀出，方法巧妙，效果明顯.

2 Ep-h和Ek-h圖像

某些能量會隨距離呈線性變化，如重力勢能、電勢能等，都與距離有關.在涉及到有關能量隨距離變化的問題時，可以巧用圖像展示能量隨距離變化的動態(tài)過程，往往能從圖像上一目了然、直觀地得到結(jié)果，縮短了分析與推理的過程.

【例2】在地面上以初速度v0豎直上拋一個足球，空氣阻力不能忽略.足球在空中能上升的最大高度為hm，足球在上升過程距拋出點距離為h1處，足球的動能和重力勢能相等；下落過程中距拋出點距離為h2處，足球的動能和重力勢能相等，則下列說法中正確的是

解析：本題涉及上升、下落兩個運動過程，兩過程中物體的動能、重力勢能均隨h變化而變化，屬動態(tài)變化問題，較為復雜. 以拋出點所在的平面作為重力勢能零勢能面，以h表示足球距拋出點的高度，在上升階段，根據(jù)動能定理可得

即Ek=Ek0-(mg+f)h

(1)

在下落階段，根據(jù)動能定理可得

即Ek=(mg-f)(hm-h)

(2)

重力勢能隨h變化的關系式為

Ep=mgh

(3)

圖2

【例3】(2010年高考上海卷第29題)某同學利用DIS，定值電阻R0，電阻箱R1等實驗器材測量電池a的電動勢和內(nèi)阻，實驗裝置如圖3.

圖3

圖4

(1)由圖4中圖線a可知電池a的電動勢Ea=______V，內(nèi)阻ra=______Ω.

(2)若用同一個電阻R先后與電池a及電池b連接，則兩電池的輸出功率Pa______Pb(填“大于”、“等于”或“小于”).兩電池的效率ηa______ηb(填“大于”、“等于”或“小于”).

圖線a在縱軸上的截距為0.5 V-1,即

所以

Ea=2 V

即

圖線a在橫軸上的截距為-2.0 Ω-1,所以

內(nèi)阻

ra=0.5 Ω

Ua

Pa

電池的效率

所以

ra

代入上式得

ηa>ηb

有些物體的運動較為復雜，不是我們所熟悉的運動模型，無法用勻變速運動的規(guī)律求解，其v-t圖像也不呈直線.此時要解決問題，往往需要對兩坐標軸所代表的量進行靈活變動，目的是能把描述物體運動的圖像“化曲為直”，使直線的斜率與坐標軸所圍的面積等對應某些所求的物理量，用圖像法實現(xiàn)突破.

【例4】 一只老鼠從鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距鼠洞中心的距離s成反比，當老鼠到達距鼠洞中心距離s1=1 m的A點時，速度大小為v1=20 cm/s.求當老鼠到達距鼠洞中心s2=2 m的B點時，其速度大小v2及老鼠從A點到達B點所用的時間t.

圖5

由圖5可得s=2 m時，老鼠的速度為10 cm/s.在1～2 m之間圖線與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從A到B爬行的時間為

5 a-t圖像

若物理量A，B，C滿足關系A=BC，則可以建立平面直角坐標系，以縱坐標表示B，橫坐標表示C，描繪出B，C的關系圖像，則圖線與橫坐標軸所圍的面積就可以表示物理量A.

【例5】 如圖6所示，一個質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的物體處于場強按E=kt規(guī)律(k為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向)變化的勻強電場中，物體與絕緣豎直墻壁間的動摩擦因數(shù)為μ，當t=0時，物體由靜止釋放．若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且電場空間和墻面均足夠大，求：

(1)物體經(jīng)過多長時間運動速度達到最大；

(2)最大速度是多少.

圖6

解析：(1)開始階段，分析物體的受力，可得

mg-μqkt=ma

隨著時間的延續(xù)，物體的加速度越來越小.當a=0時，物體的速度達到最大，此后做減速運動直至停止.所以在速度最大時有

mg-μqkt=0

即經(jīng)過時間

物體在豎直墻壁上的速度達到最大值.

(2)由mg-μqkt=ma，得

作出a-t圖像，如圖7所示.顯然，t軸之上三角形的面積大小代表速度的增加量，t軸之下三角形的面積大小表示速度的減少量.由于物體出發(fā)的初速度為零，所以最大速度就等于上面三角形的面積大小.即

圖7

該題利用圖像展示了復雜的動態(tài)過程，雖然不是我們所熟悉的勻變速運動，但可以根據(jù)圖線與坐標軸所圍面積的物理意義，簡捷明快地得出結(jié)果，令人耳目一新.

由此看來，圖像往往都蘊含著豐富的信息，如圖線的截距、斜率、拐點、圖線所圍面積、兩圖線交點等，都有各自的物理意義.巧借圖像解題，常常能化難為易、化繁為簡，特別是有些運用解析法無法解決的問題，常能從圖像上觸發(fā)靈感，另辟蹊徑，使問題迎刃而解，具有難以替代的作用.運用圖像解題也是高考重點考查能力之一.作為教師，應該在課堂教學中嘗試著滲透圖像法，把解析法與圖像法有機地結(jié)合起來，有意識地對學生進行圖像法解題的思維訓練，使學生熟練掌握這一重要的解題方法.