用矢量三角形法研究拋體運動

羅章

(湖南師范大學物理與信息科學學院 湖南 長沙 410006；岳陽市第十五中學 湖南 岳陽 414000)

根據物體在剛拋出時的速度方向不同，拋體運動分為平拋運動和斜拋運動.描述運動狀態的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對運動進行合成與分解通常按照平行四邊形法則進行.矢量分解法是解決力學問題的一種重要方法，但是在一般力學教材中只介紹常用的分解方法——正交分解法，因此初學者大多只會用此方法解決矢量問題.其實，由矢量的線性相關性理論，任何矢量都可以表示成幾個特定方向的單位矢量的線性組合.因此，本文運用矢量三角形法研究拋體運動，從而對用此方法解決矢量問題有另一種理解.

拋體運動是勻變速運動，加速度恒定，為重力加速度g.由于位移矢量和速度矢量隨時間變化，所以通常解題時需要先確定研究的位置(狀態)，再根據平行四邊形定則得到兩個矢量三角形，即位移三角形和速度三角形.圖1為平拋運動，圖2為斜拋運動時的情形.

圖1

圖2

【例1 】如圖3所示，從傾角為θ=45°的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計空氣阻力，若斜面足夠長，則小球拋出后離開斜面的最大距離是多少？

解析：此題常見的解決方法是分解法，即將小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解.這樣分解比沿水平方向和豎直方向分解要簡單.該解法見諸各種資料，此不贅述.下面從分析拋體運動的兩個矢量三角形的方法解此題.

圖3 圖4

由題意分析可知，當物體的速度方向平行于斜面時，離斜面最遠.經過時間t時作物體的位移矢量三角形和速度矢量三角形，如圖4.

在位移矢量三角形中有

(1)

在速度矢量三角形中有

(2)

將θ=45°代入式(1)、(2)得

由幾何知識有

(3)

代入數據得

【例2】 如圖5所示，大炮在山腳直接對著傾角為α的山坡發射炮彈，炮彈初速度為v0，要在山坡上達到盡可能遠的射程，則大炮的瞄準角θ應為多少？最遠射程有多少？(不計空氣阻力)

圖5

解析：此題常見解法是把速度與加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立兩個方向的運動學方程求解.下面利用拋體運動的兩個矢量三角形來解此題.

圖6

如圖6所示，作炮彈運動的速度矢量三角形.由正弦定理有

(4)

取前一個等號并化簡得

代入第二個等號并解得

(5)

【例3】 從高h 處斜向上拋出一初速度大小為v0的物體，討論拋出角θ為多大時，物體落地的水平位移最大.(不計空氣阻力)

解析：例2用到了位移矢量三角形,本題嘗試用速度矢量三角形來討論.設落地時速度大小為v，作速度矢量三角形,如圖7所示.

圖7

由動能定理，易得v的大小

(6)

設矢量三角形的面積為S,則

(7)

式中v0tcosθ即為物體水平方向的位移x.

因此，只需考慮何時矢量三角形有最大面積即可.由于三角形面積S也可以寫成

(8)

由面積相等

得水平位移最大值為

此題也可以用位移矢量三角形討論，求拋出點與落地點位移的最大值，即可轉化為水平位移的最大值，讀者可自行嘗試.

對拋體運動，恰當地選擇方法，是順利、高效地解決問題的關鍵.文中討論的用位移矢量三角形和速度矢量三角形解決拋體運動問題需要的數學知識有正弦定理、三角形面積公式、三角函數求極值等.