例析數列知識在動量類問題中的應用*①

葉玉琴

(安慶市第二中學 安徽 安慶 246000)

1 等差數列與動量守恒定律的結合應用

【例1】如圖1，一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上；在木板上自左向右依次放有序號是1,2,3,…，n個木塊，所有木塊的質量均相同，與板間的動摩擦因數也相同.開始時木板靜止不動，第1,2,3,…，n個木塊的初速度分別為v0,2v0,3v0,…，nv0，方向均向右，并同時開始運動，木板質量等于所有木塊的總質量，最終所有木塊與木板以共同速度勻速前進，設物塊間均無碰撞，試求：

(1)所有木塊與木板的共同速度;

(2)第k(k

解析:(1)木塊和木板之間相互作用的過程中，系統水平方向不受外力作用，滿足動量守恒定律，設所有木塊與木板最終的共同速度為v′，則有

mv0+m2v0+…+mnv0=(nm+nm)v′

即

mv0(1+2+…+n)=2nmv′

利用等差數列求和公式，則

所以

圖1

(2)第k(k

(km+nm)vk+m(v0+vk)+m(2v0+vk)+…+

m[(n-k)v0+vk]=mv0+m2v0+…+mnv0

整理得

2nmvk+mv0[1+2+…+(n-k)]=

mv0(1+2+…+n)

對等式兩邊應用等差數列求和公式,得

解得第k號(k

2 等比數列與動量定理的結合應用

【例2】(2008年高考四川卷)如圖2,一傾角為θ=45°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板.在斜面頂端自由釋放一質量m=0.09 kg的小物塊(視為質點);小物塊與斜面之間的動摩擦因數μ=0.2.當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回.重力加速度g=10 m/s2.在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

圖2

解析：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v.由功能關系得

(1)

以沿斜面向上為正方向，根據動量定理可得碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

I=mv-m(-v)

(2)

設碰撞后小物塊沿斜面上升所能達到的最大高度為h′，則

(3)

小物塊再次到達斜面底端時的速度為v′，碰撞過程擋板給小物塊的沖量為I′，同理有

(4)

I′=mv′-m(-v′)

(5)

由式(1)～(5)得

可知，小物塊前4次與擋板碰撞受到的沖量成等比級數，公比為

首項為

所以前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量為

I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)=

代入數據得

3 等比數列與動量守恒定律的結合應用

【例3】(2004年高考江蘇卷) 一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上;一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后又反復地跳下、追趕并跳上雪橇.狗與雪橇始終沿一條直線運動.若狗跳離雪橇時雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v+u(其中u為狗相對于雪橇的速度，v+u為矢量和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，u為負值).設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計.已知v的大小為5 m/s，u的大小為4 m/s，M=30 kg，m=10 kg.求：

(1)狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度；

(2)雪橇的最終速度和狗最多能跳上雪橇的次數.

(供使用但不一定用到的對數值：lg2=0.301，lg3=0.477)

解析：本題的第2問，是一個比較有難度的數列問題.設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次、第2次……第n次跳下雪橇后雪橇的速度分別為v1，v2，…，vn，對應狗的速度分別為(v1+u)，(v2+u)，…，(vn+u)，由動量守恒定律得

Mv1+m(v1+u)=0

同理,第2次狗跳離雪橇后，有Mv1+mv=Mv2+m(v2+u)，則

第3次狗跳離雪橇后，有Mv2+mv=Mv3+m(v3+u)，則

第n次狗跳離雪橇后，有

若狗追不上雪橇，則vn≥v，化簡整理得

兩邊取對數后便可求出n≥3.41，所以狗最多能跳上雪橇3次，將n=4代入vn的表達式，便可求出雪橇的最終速度為5.625 m/s.

4 非等差等比數列和動量守恒定律的結合應用

【例4】一個士兵坐在皮劃艇上，他連同裝備和皮劃艇的總質量共120 kg.這個士兵用自動步槍在2 s時間內沿水平方向連續射出10發子彈，每發子彈的質量是10 g，子彈離開槍口時相對步槍的速度是800 m/s.射擊前皮劃艇是靜止的[1].

(1)每次射擊后皮劃艇的速度改變多少？

(2)連續射擊后皮劃艇的速度是多大？

解析：本題屬于數列應用問題，其中第1問是難度較大的數列遞推.設皮劃艇、槍(含子彈)及人整個系統的質量為m，每發子彈的質量為m0，子彈射出運動的反方向為正方向，子彈相對步槍的速度大小為u.

(1)設第1次射擊后皮劃艇的速度大小為v1，由動量守恒定律有

0=(m-m0)v1+m0(v1-u)

于是解得

第2次射擊后

(m-m0)v1=(m-2m0)v2+m0(v2-u)

于是解得

第3次射擊后

(m-2m0)v2=(m-3m0)v3+m0(v3-u)

于是解得

……

第10次射擊后

(m-9m0)v9=(m-10m0)v10+m0(v10-u)

于是解得

所以，設射出子彈n發，則每次射擊后皮劃艇速度的改變量為

從表達式可看出，在射擊時子彈相對步槍口的速度不變時，則每次射擊后皮劃艇速度的改變量不一樣，第1次射擊后改變量最小，然后依次增加.

(2)連續射擊10次后，可得

從表達式可以看出，該數列既非等差數列也非等比數列，求和顯然很難.但仔細觀察不難發現，可以通過近似處理轉化為等差數列，然后再求和.代入數據后得v10≈0.67 m/s.

參考文獻

1 課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3-5.北京：人民教育出版社，2010