由面心立方(111)面間距談幾何晶體學的幾個基本概念*①

2012-01-23 04:51:12馬天平譚偉石

物理通報 2012年2期

馬天平譚偉石

(南京理工大學理學院應用物理系江蘇南京 210094)

1 引言

在通常的《固體物理學》和《X射線衍射學》教材[1～3]中，都表示可以采用公式

(1)

2 面心立方晶體(111)面間距的計算

出現上述問題的根本原因在于公式(1)中的指數h,k,l為密勒指數，而不是晶面指數.因此，不能將晶面指數代入此公式計算面間距.為此，需要先導出采用晶面指數計算面間距的公式.

如圖1所示，選取面心立方晶體的固體物理學原胞的初基矢量為

(2)

圖1 面心立方晶體的原胞坐標系

式中i,j,k分別表示笛卡兒正交坐標系中三個坐標軸的單位矢量.

根據倒易點陣的定義式

計算其倒格子的初基矢量，得

(3)

(4)

通常所使用的面間距公式(1)中面指數(hkl)是在晶胞坐標系a,b,c中確定的密勒指數.這就涉及到對晶胞和固體物理學原胞等概念的辨析.

3 幾何晶體學中幾個基本概念的辨析

上述問題通過基矢的適當選取得到了解決，但更本質上反映的是對幾何晶體學中幾個基本概念的混淆.

(1)原胞.體積最小的重復單元稱為原胞或固體物理學原胞[1,2].原胞的選取不是唯一的.只要符合體積最小和周期性兩個條件即可，所以原胞往往不能表達對稱性.若使用威格納-塞茲(Wigner-Seitz)原胞[2]，則既能反映晶格的全部對稱性，也能反映周期性.

(2)晶胞.又稱單胞，或稱結晶學原胞，是晶體結構的最小重度單元，即在能反映晶體對稱性的前提下選取體積盡量小的重復單元.實際的晶體結構可以看成是晶胞在三維方向周期性地堆砌而成.在晶胞中，可含有一個或多個格點，體積為原胞的一倍或數倍.在晶胞中所選取的沿晶軸的三個矢量通常也稱為軸矢.晶胞的概念強調了對稱性.

(3)晶面指數.在固體物理學原胞的基矢坐標系中，晶面在三個基矢a1,a2,a3方向上的截距以基矢長度作為單位進行度量后取倒數，約去公因子，得到一組互質的整數，即為該晶面的晶面指數，常用(h1h2h3)表示[4].

(4)密勒指數.在晶胞的軸矢坐標系中，晶面在三個軸矢a,b,c方向上的截距以軸矢長度作為單位進行度量后取倒數，約去公因子，得到一組互質的整數，即為該晶面的密勒指數，常用(hkl)表示.

可見，晶面指數和密勒指數的確定方法相同，但是二者之間存在的差異在于所采用的基矢量不同.

在實際應用中，人們往往習慣使用密勒指數，即使用晶胞(單胞)的基矢討論問題.尤其在正交晶系中，通常以正交基矢對應的密勒指數討論晶面問題.但需要注意的是，密勒指數所選取的基矢能很好地體現對稱性，但并不一定對應最小的周期性單元，尤其在計算面間距的過程中，如果在概念上混淆，用密勒指數代入對應于晶面指數的公式，就會產生錯誤.

在面心立方晶體的軸矢坐標系a,b,c中