對一道人船模型習題的剖析

陳克超 劉 杰

(重慶市長壽區長壽中學 重慶 401220) (山東省威海市第一中學 山東 威海 264200)

【例1】如圖1所示，質量為2m的木板停在光滑的水平面上，其左端有質量為m，可視為質點的遙控電動賽車，由靜止出發，經過時間t后關閉電動機，此時賽車速度為v1，賽車在木板上滑行一段距離后，恰好停在木板的右端.若通電后賽車以恒定功率P行駛，賽車在運動過程中受到木板的摩擦阻力恒為f，不計空氣阻力.求:

(1)賽車由靜止出發經過時間t后木板速度v2的大小和方向；

(2)賽車由靜止出發在t時刻與木板左端之間的距離L1；

(3)木板長度L.

圖1

解析:(1)對賽車和木板組成的系統，由動量守恒定律

mv1-2mv2= 0

解得

方向水平向左.

(2)對賽車和木板組成的系統，由能量守恒定律

(3)設賽車恰好停在木板的右端時，賽車和木板的共同速度為v，則以賽車和木板組成的系統為研究對象，對全過程，由動量守恒定律

3mv= 0

得

v= 0

由能量守恒定律

得

討論：(1)賽車的牽引力是外力還是內力？

由于通電后賽車以恒定功率P行駛，可以判斷出在關閉電動機之前賽車的牽引力是變力，導致賽車或木板的合外力均為變力，不能用動力學觀點求解，需結合動量和能量觀點來解答.賽車的牽引力是外力還是內力呢？如果是外力，車和木板系統外力的合力不為零，系統動量不守恒.從情境來看可以類比人船模型求解，則牽引力屬于賽車系統內力.此時賽車和人一樣不能看作質點，是質點系，其力學特征比較復雜.人船模型中的人(或車)能否看作質點呢？

(2)賽車和木板之間什么力做功，木板怎樣獲得動能？

(3)如何等效處理人船模型，其等效方法有哪些？

這是人船模型在動量守恒問題中的特殊用法，涉及位移問題時，運用習題平均動量守恒來求解.

圖2

人船模型的能量問題中，如果不能簡單化作兩個質點間的相互作用，則等效為反沖問題，無需具體分析是什么內力做功，只需運用系統能量守恒的觀點來分析處理，正如反沖核的情形，核能轉化為系統的動能.

(4)人船模型拓展分析中能化作兩個質點組成的系統又如何處理呢？

如果人船模型中能化作兩個質點組成的系統，其相互作用的內力有明確的力做功，可以分別對某一質點運用能量關系求解，也可用系統能量守恒的觀點求解；涉及位移問題時，常用“系統平均動量守恒”予以解決.

【例2】如圖3所示，質量M=2 kg的滑塊套在光滑的水平軌道上，質量m=1 kg的小球通過長為L=0.5 m的輕質細桿與滑塊上的光滑軸O連接.小球和輕桿可在豎直平面內繞O軸自由轉動，滑塊可在水平軌道上自由滑動，開始輕桿處于水平狀態.現給小球一個豎直向上足夠大的初速度v0=4 m/s，g取10 m/s2.試求:

(1)小球通過最高點時的速度大??；

(2)小球從開始到最高點過程中，輕桿對小球所做的功；

(3)在滿足(1)的條件下，試求小球擊中滑塊右側軌道位置點與小球起始位置點間的距離.

圖3

解析：(1)設小球能通過最高點，且此時的速度為v1，滑塊的速度為v2.在上升過程中，因系統在水平方向上不受外力作用，水平方向上動量守恒.以水平向右的方向為正方向，有

0=mv1-Mv2

在上升過程中，因只有重力做功，系統的機械能守恒，則

代入數據得v1=2 m/s

(2)小球從開始到最高點過程中，對小球由動能定理得

代入數據得W彈=-1 J

(3)設小球擊中滑塊右側軌道的位置與小球起始點的距離為s1，滑塊向左移動的距離為s2，等效為人船模型有

0=ms1-Ms2

其中小球在水平方向相對于滑塊運動的位移為2L,其幾何關系有

s1+s2=2L

聯立求解得