注意電場和磁場的邊界

孟魯江 魏致遠

(浙江諸暨榮懷學校 浙江 紹興 311800)

1 問題的提出

為了使中學生能夠解決一些比較復雜的問題，編題者往往會設置一些理想化的電場或磁場邊界，但如果深究，就會發現有的理想邊界導致了矛盾的結果，應引起我們注意并弄清楚產生謬誤的根源.

首先，我們來看一個貌似有理的永動機模型.如圖1所示,勻強電場有一個理想的與電場斜交的邊界.帶電粒子以某一個初速度進入電場，在電場力的作用下做加速曲線運動，后被粒子收集器規范進入磁場，繞半個圓周后通過渦輪機做功，再進入電場做加速運動，達到周而復始的目的.

圖1

永動機被能量守恒定律證明為不可能，顯見此處的問題出在理想化的電場邊界上，這種與電場斜交的邊界是相當“危險”的.

2 不爭的現實

這種理想化的危險邊界不是空穴來風，也并非個例.請看下面的高考試題.

【例1】(2011年高考全國理綜卷第25題)如圖2，與水平面成45°角的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個區域.一質量為m,電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從平面MN上的P0點水平右射入Ⅰ區.粒子在Ⅰ區運動時，只受到大小不變、方向豎直向下的電場作用，電場強度大小為E；在Ⅱ區運動時，只受到勻強磁場的作用，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里.求粒子首次從Ⅱ區離開時到出發點P0的距離.粒子的重力可以忽略.

圖2

我們把此題的解答復制如圖3，并在粒子進入磁場點P1和出磁場點P2添畫了兩條等勢線(面)，可以發現此過程中沒有任何外力對粒子做功，但粒子的電勢能卻無緣無故地改變了.如果粒子從P2點又進入電場，后又進入磁場，那么，這種“無緣無故”的電勢能改變將一再重演.

圖3

這是個例嗎？怕不盡然，隨手再拿一個例題.

【例2】(五所一級重點中學高三年級2010年4月份聯考第23題)如圖4所示(黑色部分)，整個xOy平面存在著垂直紙面向外的勻強磁場，其間有一寬度為d的斜向的,上下邊界平行的勻強電場區域.電場方向和邊界平行，且上邊界過原點O.一質量為m，帶電荷量為+q的粒子(重力不計)，以初速度v0從(0，L)點垂直y軸進入第一象限，恰垂直電場邊界進入電場和磁場復合場區域，而且沿直線穿過該區域.之后粒子又經過磁場和復合場的偏轉后，恰在原點O第二次穿越x軸.

(1)求磁感應強度B的大小；

(2)求粒子第二次從原點O穿越x軸時的速度；

(3)比較d與L的大小，并說明理由.

圖4

本題給帶電粒子設計的運動途徑應該如圖中虛線所示，似乎求解也沒有什么問題，但大家有沒有注意到(也確有部分考生在考場里就被這個問題攪得頭昏腦脹),帶電粒子從進入電場和磁場復合處到再次進入該區域的過程中，電場力和磁場力都沒有對它做功，動能沒有變化，但它的電勢能也“無緣無故”地改變了，而且可以推定增加了2qEL(其中E代表電場強度)，即電場力要做功 -2qEL.

這些問題都出在過度理想化的電場、磁場界面.

3 關注更普遍的問題

理想化是中學物理教和學中處理問題的一種重要手段，沒有它真的寸步難行，但一旦理想化成癮，事情就走向另一個極端.比如,圖1所反映的電場線，實際上應該與端面垂直，現在卻任意斜交；圖4中的電場，在那么長的距離上，絲毫不顧及邊緣效應，導致極不合理的隱性結果出現.

類似地，兩個不同的勻強電場或磁場是不是可以用一個理想的界面截然分開呢？我們來看一看圖5所表示的情況.

兩個勻強電場，強度不同，如圖5(a).若可以用理想界面截然分開而并存，那么，按虛線途徑移送電荷一圈，電場力做功將不為零，這顯然是不可能的.

圖5

圖5(b)的勻強磁場，強度不同.如果可以用理想界面截然分開，那么,帶電粒子做圖示軌跡運動, 現對比一下粒子在左右磁場中的一些數據,如表1所示.

表1粒子在有理想化邊界的兩個勻強磁場中運動時各物理量的比較

磁場線速度動能圓運動半徑對圓心轉動慣量角速度以轉動計動能角動量Bv12mv2rmr2ω12mr2ω2mr2ωnBv12mv2rnmr2n2nω12mr2ω2mr2ωn

我們往往只注意到由于洛倫茲力不做功，所以，它在兩側的線速度大小不變，符合功能關系；但沒有注意到粒子的圓運動半徑、周期變了，其角速度、角動量也變了，而粒子運動過程中,受到的磁場力總是指向圓心屬于有心力，角動量應該是守恒的.同樣，如果改換思路滿足角動量守恒，則功能關系將被破壞，這是魚和熊掌，不可兼得.所以,這樣的磁場界面分隔兩個勻強磁場，使之并存也是不可能的.從實際情況出發考慮，兩個磁場靠近，應該有一個交融疊加的“城鄉結合部”，而不可能有一道“柏林墻”把它們截然分開成兩個不同的區域.

問題是這種理想化的、隨意性極大的磁場界面，在考題和訓練題中見得太多了，完全達到見怪不怪的程度，坦然面對，從容求解.至少可以說它已經“登堂”——進教輔，做練習題，進高考卷；只是尚未“入室”——還沒有登陸教材.

以上分析希望引起大家的注意、討論并提出相應的應對舉措.