兩種非純電阻電路的最大輸出功率

王建豪 趙利通

(臨城中學 河北 邢臺 054300)

1 引言

純電阻電路最大輸出功率，可根據電源輸出功率公式和閉合電路歐姆定律推出.具體推導如下.

基本模型：如圖1所示的閉合電路中，電源的電動勢為E，內阻為r，外電路電阻R為可變電阻，求當R為何值時電源有最大輸出功率，最大輸出功率為多少.

圖1

推導：電源的輸出功率就是可變電阻消耗的功

率.設電源的輸出功率為P出，則有

P出=I2R

而由閉合電路歐姆定律知

兩式聯立得

電源的輸出功率P出與外電阻R的函數關系可用如圖2所示的圖像定性地表示.

由上式及圖像可得出以下結論:

(1)當R=r時，輸出功率最大為

(2)當R

(3)當R>r時，P出隨R的增大而減小.

圖2

說明：上述情況都是在E和r不變的情況下適用.

而對非純電阻電路,閉合電路歐姆定律不成立，那么,如何求解非純電阻電路電源的最大輸出功率呢？

2 電動機類非純電阻電路中電源的最大輸出功率

基本模型(以含有電動機類非純電阻電路為

圖3

例):如圖3所示，內阻為R的直流電動機，接在電動勢為E，內阻為r的直流電源上，電動機工作時(設其內阻可變)，求電源的最大輸出功率.

推導：在含有非純電阻用電器的閉合電路中，電動機工作時，電路中的電流設為I，這時

因為在外電路中，除了產生內能外還有機械能產生，電源提供的功率IE，一部分被電源消耗I2r，另一部分消耗在外電路上,即I2R+P機，根據能量守恒，有

IE=I2r+I2R+P機

即

得

所以

設電源輸出功率為P，則

只能根據能量守恒按P=IE-I2r討論. 此時，電源輸出功率P與I的關系為二次函數，其函數關系圖線如圖4.

圖4

由此可得

(2)電路有最大輸出功率時，有

與純電阻電路情況相同.

(3)由于

P出=UI>PR=I2R

即

UI>I2R

所以

即電路有最大輸出功率時，r>R，與純電阻電路不同.

圖5

方法1：與純電阻電路比較

圖5(a)為純電阻電路，當滑動變阻器R1=2 Ω時，R外=R1+R0=3Ω=r，所以，電源有最大輸出功率并設為P1max,則

圖5(b)盡管為非純電阻電路，但其電源與5(a)電源相同，電源輸出的最大功率與圖5(a)相同,即

P2max=P1max=12 WI2=I1=2 A

此時電動機功率PM=6 W,則變阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

電動機產生的熱量

方法2：用推導結論

同樣可得變阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

電動機產生的熱量

顯然,方法2更簡潔.

【例2】如圖6所示，電源電動勢E=12 V，內電阻r= 1 Ω，R2為保護電阻，阻值R2=2 Ω，電流表內阻不計.開關S閉合瞬間，流過電流表的電流為8 A，一段時間之后，電動機正常工作，此時電源輸出功率最大，求電動機正常工作時，輸出機械功率多大,電動機效率為多大.

分析：開關S閉合瞬間,電動機還沒轉動，可看做純電阻電路

R并=R總-rR并==0.5 Ω

而

所以，電動機內阻

圖6

電動機正常工作時，電路為非純電阻，據非純電阻電路電源輸出最大功率條件,此時電源電流

又

U=E-I′rU=6 V

得通過R2的電流為

所以流過電動機電流

IM=I′-I2IM=3 A

電動機輸入功率

PM=UIMPM=18 W

電動機熱功率

電動機輸出功率

P出=PM-PR1P出=12 W

電動機的效率為

3 變壓器類非純電阻電路中電源的最大輸出功率

基本模型：如圖7，交變電源的電動勢為U，內阻為r，變壓器原、副線圈電壓分別為U1,U2，原、副線圈的電流分別為I1,I2，匝數分別為n1,n2，所接負載為滑動變阻器R.求電源的最大輸出功率.

圖7

推導：由變壓器工作關系知

(1)

(2)

負載滑動變阻器電阻為

(3)

將圖7中虛線框等效為負載電阻R′，則

將式(1)～(3)代入得

將等效負載視為電阻，則電路可簡化為圖8，等效為純電阻電路，再結合純電阻電路輸出功率最大值的推導得

時，電源的輸出功率最大,且最大值為

圖8

【例3】如圖9，交流信號源的電動勢E=120 V，內阻R0=800 Ω，負載為揚聲器，其等效電阻為RL=8 Ω .

圖9

(1)當將負載直接與信號源連接時, 求信號源輸出的電流及負載獲得的功率.

(2)如圖10，利用變壓器使信號源輸出最大功率，求變壓器的匝數比、信號源輸出的電流及負載獲得的功率.

圖10

(4)

又因為等效負載

(5)

聯立式(4)、(5)得

結合推導中圖8和閉合電路歐姆定律得信號源即電源電流

此時,電源有最大輸出功率，且最大值為

而電源的輸出功率為變壓器的輸入功率，可得變壓器的輸入功率P入=4.5 W，因為理想變壓器輸入功率與輸出功率相等，得變壓器的輸出功率P出=4.5 W，變壓器輸出功率即為負載獲得的功率，所以,負載獲得功率

PL=P出=P入=Pmax=4.5 W

由上述運算還可知，接入變壓器以后，信號源輸出電流減小，而負載獲得的輸出功率大大提高.

小結：求解含有變壓器電路的最大輸出功率的思路為等效負載、變壓比與閉合電路歐姆定律相結合.