關于自行車的兩個力學問題

張九鑄

(金川集團公司龍門學校 甘肅 金昌 737100)

1 問題的提出

如圖1所示，自行車在豎直平面內沿水平道路做直線運動．前、后輪半徑均為R，繞軸轉動慣量均為I；車與人總質量為m，整體質心的高度為hC，與前、后輪軸線的水平距離分別為d1,d2．鏈條傳動的主動輪與從動輪齒數之比為Z，腳蹬曲柄AB長為h．兩輪與地面之間的滾動摩阻系數為δ．

(1)設車輪做純滾動，輪心做勻速直線運動，速度大小為v0，則A點的軌跡方程和在任意位置處的曲率半徑如何？

(3)研究加速過程，假設車輪只滾不滑，鋼圈角加速度大小為β，則前、后輪所受支持力如何？

圖1 自行車示意圖

2 腳蹬的軌跡和曲率半徑

建立如圖1所示固定坐標系，以A點在最高位置時B點正下方地面上一個定點O為坐標原點，此時也是計時起點．設前、后齒輪半徑分別為rB，rC，角速度大小分別為ωB，ωC．對鏈條上各點相對于車架的速度大小有關系ωBrB=ωCrC．又已知

由以上結果得到

(1)

A點的坐標為

x=v0t+hsinφy=R+hcosφ

利用式(1)消去上式中的v0，并且注意φ=ωBt，得到

x=ZRφ+hsinφ

y=R+hcosφ

(2)

這表示是一條旋輪線．容易看出，該旋輪線是由半徑為ZR的圓輪(本體極跡)沿著直線y=-(Z-1)R(空間極跡)純滾動時，其內部與圓心距離為h(h

圖2

如圖3所示，求式(2)對時間的導數，得到A點的速度投影為

vx=v0+ωBhcosφ

vy=-ωBhsinφ

(3)

圖3

加速度投影為

(4)

由式(3)、(4)，并利用式(1)，得到A點的合速度大小和合加速度大小分別為

(5)

(6)

于是，切向加速度和法向加速度為

(7)

(8)

曲率半徑為[1]

(9)

注意：A的軌跡方程和曲率半徑都與圓輪的純滾動是否為勻角速度無關，它們完全是兩個幾何問題．

3 剎車和加速過程中前后輪所受支持力

3.1 剎車過程

研究整個剎車過程．如圖1坐標系中，設前、后輪受地面支持力分別為N1,N2，靜摩擦力為f1,f2，以順時針方向為轉動正向，鋼圈角加速度為β，則對整個系統由質心運動定理有

-(f1+f2)=mRβ

N1+N2=mg

(10)

設鋼圈轉動角位移為θ，則自行車剎車位移為

s=Rθ

(11)

對整體運用質心系中的動量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC+f2hC=2Iβ

(12)

(2I+mR2)β

(13)

-mgδ-N1d1+N2d2=

(2I+mRhC)β

(14)

聯立式(13)、(14)消去β，有

-mgδ-N1d1+N2d2=

(15)

聯立式(10)、(15)，得

(16)

(17)

(18)

3.2 加速過程

研究加速過程．如圖1坐標系中,設前、后輪所受支持力分別為N1,N2，靜摩擦力分別為-f1,f2，以順時針方向為轉動正向，鋼圈角加速度為β，則對整個系統由質心運動定理有

-f1+f2=mRβ

N1+N2=mg

(19)

對整體運用質心系中的動量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC-f2hC=2Iβ

(20)

由式(19)消去方程(20)中的-f1+f2和N1+N2，得到

-mgδ-N1d1+N2d2=(2I+mRhC)β

(21)

聯立式(19)和(21)得到

(22)

由式(22)可見，自行車啟動加速度越大，前輪上的支持力N1越小，以至于當加速度過大，使

時,N1=0，即前輪將脫離地面．顯然，這個角加速大小與整體質心的高度hC有關，高度越大，βmax越小，前輪越容易離地．上述結論完全可以推及汽車的加速過程．

參考文獻

1 張九鑄．帶電粒子在正交電場和磁場中軌跡的形成及曲率半徑．大學物理，2011，30(5)：35～38

2 李俊峰，張雄．理論力學．北京：高等教育出版社，2010.124