用折合質量巧解彈簧雙振子問題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

這是彈簧雙振子的固有周期，與恒定外力無關.

【例1】一輕質彈簧兩端連接質量都為m且大小不計的小球a,b，彈簧的自然長度為L.現將兩小球放開，讓此系統自某一高度下落，a小球在下方且離地高度為h．a小球與地面發生彈性碰撞后離開地面，當第二次接觸地面時，彈簧壓縮量第一次達到最大.試求：(1)彈簧的勁度系數；(2)a小球第二次觸地時的速度.

接下來分析兩小球相互作用壓縮彈簧的過程.在自由落體參考系中，兩小球只受相互作用的彈力，合外力為零.若以a小球為參照物，則b小球的折合質量為

且相對于a小球做簡諧運動，周期為

這是系統的固有周期，不因參考系而變化.

圖1

方向豎直向下.

由于a小球仍在水平面上，而b小球相對于a小球靠近一個振幅，則系統的質心即彈簧的中點發生的位移大小等于半個振幅，即

(2)當a小球第二次觸地時，其速度為質心速度，即為

【例2】(第22屆全國中學生物理競賽復賽題)如圖2所示，在一個勁度系數為κ的輕質彈簧兩端分別拴著一個質量為m的小球A和質量為2m的小球B．A用細線拴住懸掛起來，系統處于靜止狀態，此時彈簧長度為l．現將細線燒斷，并以此時為計時零點，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標軸Ox，原點O與此時A小球的位置重合．試求任意時刻兩小球的坐標.

圖2 圖3

解析：首先利用相對運動法和簡諧運動規律求兩個質點坐標之間的關系.

在原坐標系中，設某時刻小球和彈簧的位置如圖3所示，小球A與B的坐標分別為x1，x2，彈簧的自然長度為l0，則此時彈簧的形變量為

Δx=l′-l0=x2-x1-l0

對小球A與B的振動由牛頓第二定律分別有

mg+κΔx=ma1

(1)

2mg-κΔx=2ma2

(2)

可知相對加速度為

(3)

式中Δx為彈簧的形變量即兩小球的相對位移，因此,這是以小球A為參照物來反映小球B運動的動力學方程，可見小球B相對于小球A做簡諧運動，與重力無關，若認為小球A固定不動，則小球B的折合質量為

故簡諧運動的周期為

(4)

這也是固有周期，因此角頻率為

(5)

所以,小球B相對于小球A做簡諧運動的位移隨時間變化的關系式為

(6)

式(6)兩邊求導數得

(7)

開始時，彈簧的形變量為

Δx0=l-l0

對小球B由受力平衡有

κ(l-l0)=2mg

得

所以

(8)

下面利用質心坐標公式和自由落體運動規律求兩個質點坐標之間的關系.

在t=0時，A，B兩小球的位置坐標為x1=0，x2=l.

(9)

在細線燒斷以后，質心做自由落體運動，因此在任意時刻t，質心的坐標為

(10)

而由質心坐標公式得

(11)

(12)

聯立式(8)、(12)解得任意時刻兩小球的坐標為

圖4

【例3】如圖4所示，勁度系數為κ的彈簧，自由長度為L0(足夠長)，兩端連著兩個小球，質量分別為m1,m2，帶正電荷，電荷量分別為Q1,Q2，整個裝置放于勻強電場中，場強大小為E，方向與彈簧方向一致．開始時，彈簧為自由長度，兩小球靜止，設兩個小球之間的靜電相互作用及各種引力均忽略不計，試求小球由靜止釋放后兩個小球之間的最大距離．

解析：相互作用之外的恒力為電場力，兩個小球受到電場力單獨作用而產生的加速度大小分別為

方向向右.

若a1=a2，則彈簧長度保持不變，最大長度L=L0；若a1>a2，則彈簧長度變小，最大長度為L=L0；若a1

以小球A為參照物，則折合加速度為

a′=a2-a1

因此，小球B所受恒力的折合力為

即

解得

還可與豎直彈簧振子類比，利用平衡條件求解彈簧長度.