對(duì)流體阻力和收尾速度的案例教學(xué)

戴加成 黃 雄

(江陰市南菁高級(jí)中學(xué) 江蘇 無錫 214400)

1 引言

案例教學(xué)法自1921年美國(guó)哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)用于經(jīng)濟(jì)管理教育以來，已被廣泛應(yīng)用到許多學(xué)科的教學(xué)中.教學(xué)常以社會(huì)或身邊發(fā)生的自然現(xiàn)象或事例為案例.學(xué)生運(yùn)用抽象、歸納和近似等各種方法，提出問題，設(shè)定描述事例的物理量，建立模型，應(yīng)用所學(xué)的物理知識(shí)和數(shù)學(xué)工具求解，最后對(duì)求解的結(jié)果進(jìn)行討論或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證.

案例:當(dāng)物體在諸如空氣和水那樣的流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體會(huì)對(duì)該物體產(chǎn)生一個(gè)與它的運(yùn)動(dòng)方向相反的流體阻力.這種力取決于物體的運(yùn)動(dòng)、特性以及運(yùn)動(dòng)所通過的流體的性質(zhì).比如,使一個(gè)乒乓球自由落下.開始時(shí)，乒乓球的速度非常小，因此空氣阻力也很小.此時(shí)向下的重力比向上的空氣阻力大得多，隨著乒乓球的速度不斷增加,空氣阻力也增大,很快便與重力相等.以后乒乓球以恒定速度運(yùn)動(dòng)，該恒定速度叫做收尾速度.

問題1：描述乒乓球下落運(yùn)動(dòng)中的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況.

問題2：試定性作出它的速度圖像、位移圖像.

問題3：影響乒乓球下落運(yùn)動(dòng)所受阻力的因素.

問題4：認(rèn)識(shí)落體的收尾速度在討論流體阻力中的作用.粗略測(cè)定乒乓球在空氣中下落的收尾速度.

問題5：落體所受空氣阻力與速度的一次方或二次方成正比，運(yùn)用控制變量法，進(jìn)行研討.

問題6：關(guān)于空氣阻力表達(dá)式的猜想，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)室可提供多個(gè)乒乓球、氣球(質(zhì)量m均為0.9 g，質(zhì)量可調(diào)，氣球半徑r可控制)、塑料球(空心)、秒表(包括電子秒表)、鋼卷尺(包括20 m的皮卷尺)……

問題7：建立一個(gè)物理模型，探究運(yùn)動(dòng)物體所受空氣阻力的表達(dá)式.

問題8：測(cè)定空氣中落體的收尾速度你有何好的建議.氣球收尾速度與乒乓球收尾速度能統(tǒng)一到一個(gè)公式里嗎？

問題9：搜集相關(guān)的物理、數(shù)學(xué)、科普資料評(píng)價(jià)或拓展自己在本案例中得到的成果.

2 背景資料[1]①

球體在流體中運(yùn)動(dòng)，考慮到流體的粘滯性.根據(jù)斯托克斯公式

f=6πηrv=b′v

(1)

式中r和v分別是球半徑和速度，η是粘滯系數(shù)，f為球在流體中受到的粘滯阻力.

乒乓球的收尾速度為

代入數(shù)據(jù)得

v=3.9×103m/s

式中乒乓球的質(zhì)量m=2.7×10-3kg，半徑r=0.02 m，空氣的粘滯系數(shù)η=1.8×10-5Pa·s.這么大的速度，顯然是不符合實(shí)際的.

事實(shí)上，乒乓球下落運(yùn)動(dòng)中粘滯阻力不是主要的.當(dāng)乒乓球速度足夠大時(shí)，它上方產(chǎn)生氣流渦旋，所以，上方的氣壓便小于下方氣壓，壓強(qiáng)差構(gòu)成運(yùn)動(dòng)物體下落的阻力，叫做壓差阻力.這時(shí)粘滯阻力和壓差阻力同時(shí)存在，但壓差阻力是主要的.

設(shè)想若有一截面積為A的圓柱體，在流體中以速度v運(yùn)動(dòng)，則在Δt時(shí)間內(nèi)，圓柱體前方有體積為AvΔt的流體被排開，如圖1所示.這些流體得到的動(dòng)能為

圖1

根據(jù)動(dòng)能定理，被排開的流體的動(dòng)能可以認(rèn)為是圓柱體施于流體的力對(duì)流體做功的結(jié)果，其功為W=FvΔt，由W=ΔEk得到

再根據(jù)牛頓第三定律，流體對(duì)圓柱體的反作用力，即為圓柱體在運(yùn)動(dòng)中所受的阻力，記為f.考慮到，阻力的大小與運(yùn)動(dòng)物體表面的形狀及表面的光滑程度有關(guān)，通常把阻力寫成

(2)

在流體力學(xué)中有一個(gè)很重要的無量綱量——雷諾數(shù)Re.若流體的粘滯系數(shù)為η，密度為ρ，流速為v，當(dāng)流經(jīng)直徑為d的管道或障礙物時(shí)，雷諾數(shù)定義為

(3)

實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)雷諾數(shù)Re≈103～105時(shí)，阻力系數(shù)C≈0.4，幾乎與Re(η)無關(guān)，流體阻力f可用式(2)表示；當(dāng)雷諾數(shù)Re<1時(shí)，流體阻力f與Re(η)有關(guān)，可用式(1)表示.

在空氣中下落的乒乓球由式(3)估算一下雷諾數(shù)，取空氣的密度ρ=1.29 kg/m3,運(yùn)動(dòng)速度v=1 m/s,則

Re=2.9×103

斯托克斯公式不再適用，應(yīng)用式(2).乒乓球下落運(yùn)動(dòng)的空氣阻力應(yīng)與速度的二次方成正比，而不是一次方成正比.令乒乓球收尾速度為v∞，則

(4)

代入數(shù)據(jù)得

v∞=9.04 m/s

乒乓球在空氣中的收尾速度約9 m/s，可用簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.

先對(duì)乒乓球的運(yùn)動(dòng)學(xué)量進(jìn)行解算.選釋放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正向，根據(jù)牛頓第二定律有

(5)

將式(2)代入式(5)，分離變量，兩邊積分

得到速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

(6)

圖2

圖2為乒乓球在有無空氣阻力時(shí)，下落運(yùn)動(dòng)速度圖像的對(duì)比,圖中自由落體圖線

g(x)=9.8x

有空氣阻力時(shí)的圖線

從圖2可知，當(dāng)速度大于6 m/s,兩者已有明顯的時(shí)間差.

將式(6)改寫成

分離變量，并兩邊積分(加初始條件)，得到位移與時(shí)間關(guān)系

(7)

代入乒乓球的相關(guān)參數(shù)，得到

圖3為乒乓球在有無空氣阻力情況下，下落運(yùn)動(dòng)的位移圖像對(duì)比，圖3中自由落體圖線

f(x)=4.9x2

有空氣阻力時(shí)位移隨時(shí)間的圖線為

下落高度為10 m時(shí)，時(shí)間差有0.3 s.

圖3

我們?cè)趯?shí)驗(yàn)樓內(nèi)院，標(biāo)定6個(gè)高度，用秒表測(cè)量不同高度的下落時(shí)間，記錄表1.作為對(duì)比，第一列是實(shí)際測(cè)量時(shí)間，第二列是自由落體時(shí)間，第三列是有阻力下落的理論值.圖4是相關(guān)的位移圖像,圖4中自由落體圖線

g(x)=4.9x2

有空氣阻力時(shí)的圖線

表1 乒乓球下落時(shí)測(cè)量的數(shù)據(jù)

圖4

乒乓球下落高度與時(shí)間的實(shí)驗(yàn)圖線表明，它在空氣中下落的收尾速度應(yīng)為9～10 m/s.籃球的質(zhì)量m=0.6 kg，直徑d=0.25 m，由式(4) 可計(jì)算出籃球下落的收尾速度為

高空跳傘者通過改變其身體的方向和形狀來增大或減小他們的收尾速度.當(dāng)他們向水平方向張開雙臂，就如同張著翅膀的鷹下落時(shí)的樣子，他們的最小收尾速度大約是60 m/s，讀者不妨估算一下.這些測(cè)算下落物體的收尾速度與公認(rèn)值基本是一致的.

圖5是從理論上得到的乒乓球下落運(yùn)動(dòng)的速度圖像和位移圖像，其中自由落體:速度圖線r(x)=9.8x,位移圖線s(x)=4.9x2.

阻力與速度一次方成正比:速度圖線

位移圖線

圖5

阻力與速度二次方成正比:速度圖線

位移圖線

3 案例的實(shí)施

本案例在運(yùn)動(dòng)學(xué)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律學(xué)習(xí)結(jié)束后，分2學(xué)時(shí)完成.

(1)呈現(xiàn)案例

定性描述：乒乓球無初速度釋放后的運(yùn)動(dòng)，作出它運(yùn)動(dòng)的速度圖像、位移圖像.

觀察與猜想：乒乓球與金屬小球在高度2 m以下，自由釋放，幾乎同時(shí)落地.在更高的高度下情況如何？

(2)分析和討論案例

實(shí)驗(yàn)與推測(cè)：空氣阻力和收尾速度的關(guān)系；空氣阻力與哪些因素有關(guān)？

設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：應(yīng)用控制變量法，研究氣球的收尾速度與質(zhì)量的關(guān)系.若

則是收尾速度與質(zhì)量成正比；若

則收尾速度與質(zhì)量的平方根成正比.

建立阻力表達(dá)式模型：常見的用圓柱體，得到

在案例討論中，居核心地位的是解決案例中所包含的疑難問題或作出解決問題的種種備選方案.諸如，乒乓球的變加速運(yùn)動(dòng)以及它所受的空氣阻力如何處理，教科書上沒有現(xiàn)成的理論；空氣阻力的表達(dá)式需要經(jīng)過猜想，再用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證等.

(3)分組討論和實(shí)驗(yàn)并得出結(jié)論

這是在第二學(xué)時(shí)進(jìn)行，學(xué)生已有了較充分的準(zhǔn)備，包括流體阻力的知識(shí)、實(shí)驗(yàn)方案器材甚至數(shù)學(xué)微積分等各個(gè)方面.乒乓球接近收尾速度要在2 s(高度10 m)以后，氣球接近收尾速度可控制在1 s(高度2.5 m)以內(nèi).用秒表測(cè)量從某高度的下落時(shí)間，通過位移圖像計(jì)算落體的收尾速度只能是粗略的.如果能用數(shù)碼相機(jī)借助一些抓圖、圖像編輯軟件，學(xué)生就可以制作頻閃照片，較準(zhǔn)確地測(cè)定落體的收尾速度.得到了空氣阻力的表達(dá)式，就能定性、半定量甚至量化研究落體的運(yùn)動(dòng).

本案例也可在大學(xué)低年級(jí)學(xué)生中開展研究.

4 本案例的價(jià)值

金屬小球、乒乓球、氣球的下落運(yùn)動(dòng)過程中，空氣阻力的作用依次凸顯出來，將自然事件中的真實(shí)情境引入課堂，通過對(duì)這些生活事例的分析、研究和討論，可以很有效地調(diào)動(dòng)起學(xué)生探索自然、理解自然的興趣與熱情.

本案例能夠在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)知識(shí)的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)科學(xué)研究的過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)態(tài)度.對(duì)于流體阻力表達(dá)式的探究，落體收尾速度自主實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)都具有挑戰(zhàn)性.案例不同于平時(shí)的課本教學(xué)，沒有現(xiàn)成理論的直接套用；也不同于課后習(xí)題，沒有已知條件，思維是發(fā)散的、開放的，這些正是案例教學(xué)的魅力之處.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程:力學(xué).北京:高等教育出版社,1995