對流體阻力和收尾速度的案例教學

戴加成 黃 雄

(江陰市南菁高級中學 江蘇 無錫 214400)

1 引言

案例教學法自1921年美國哈佛商學院倡導用于經濟管理教育以來，已被廣泛應用到許多學科的教學中.教學常以社會或身邊發生的自然現象或事例為案例.學生運用抽象、歸納和近似等各種方法，提出問題，設定描述事例的物理量，建立模型，應用所學的物理知識和數學工具求解，最后對求解的結果進行討論或實驗驗證.

案例:當物體在諸如空氣和水那樣的流體中運動時，流體會對該物體產生一個與它的運動方向相反的流體阻力.這種力取決于物體的運動、特性以及運動所通過的流體的性質.比如,使一個乒乓球自由落下.開始時，乒乓球的速度非常小，因此空氣阻力也很小.此時向下的重力比向上的空氣阻力大得多，隨著乒乓球的速度不斷增加,空氣阻力也增大,很快便與重力相等.以后乒乓球以恒定速度運動，該恒定速度叫做收尾速度.

問題1：描述乒乓球下落運動中的受力情況和運動情況.

問題2：試定性作出它的速度圖像、位移圖像.

問題3：影響乒乓球下落運動所受阻力的因素.

問題4：認識落體的收尾速度在討論流體阻力中的作用.粗略測定乒乓球在空氣中下落的收尾速度.

問題5：落體所受空氣阻力與速度的一次方或二次方成正比，運用控制變量法，進行研討.

問題6：關于空氣阻力表達式的猜想，設計實驗加以驗證.實驗室可提供多個乒乓球、氣球(質量m均為0.9 g，質量可調，氣球半徑r可控制)、塑料球(空心)、秒表(包括電子秒表)、鋼卷尺(包括20 m的皮卷尺)……

問題7：建立一個物理模型，探究運動物體所受空氣阻力的表達式.

問題8：測定空氣中落體的收尾速度你有何好的建議.氣球收尾速度與乒乓球收尾速度能統一到一個公式里嗎？

問題9：搜集相關的物理、數學、科普資料評價或拓展自己在本案例中得到的成果.

2 背景資料[1]①

球體在流體中運動，考慮到流體的粘滯性.根據斯托克斯公式

f=6πηrv=b′v

(1)

式中r和v分別是球半徑和速度，η是粘滯系數，f為球在流體中受到的粘滯阻力.

乒乓球的收尾速度為

代入數據得

v=3.9×103m/s

式中乒乓球的質量m=2.7×10-3kg，半徑r=0.02 m，空氣的粘滯系數η=1.8×10-5Pa·s.這么大的速度，顯然是不符合實際的.

事實上，乒乓球下落運動中粘滯阻力不是主要的.當乒乓球速度足夠大時，它上方產生氣流渦旋，所以，上方的氣壓便小于下方氣壓，壓強差構成運動物體下落的阻力，叫做壓差阻力.這時粘滯阻力和壓差阻力同時存在，但壓差阻力是主要的.

設想若有一截面積為A的圓柱體，在流體中以速度v運動，則在Δt時間內，圓柱體前方有體積為AvΔt的流體被排開，如圖1所示.這些流體得到的動能為

圖1

根據動能定理，被排開的流體的動能可以認為是圓柱體施于流體的力對流體做功的結果，其功為W=FvΔt，由W=ΔEk得到

再根據牛頓第三定律，流體對圓柱體的反作用力，即為圓柱體在運動中所受的阻力，記為f.考慮到，阻力的大小與運動物體表面的形狀及表面的光滑程度有關，通常把阻力寫成

(2)

在流體力學中有一個很重要的無量綱量——雷諾數Re.若流體的粘滯系數為η，密度為ρ，流速為v，當流經直徑為d的管道或障礙物時，雷諾數定義為

(3)

實驗表明，當雷諾數Re≈103～105時，阻力系數C≈0.4，幾乎與Re(η)無關，流體阻力f可用式(2)表示；當雷諾數Re<1時，流體阻力f與Re(η)有關，可用式(1)表示.

在空氣中下落的乒乓球由式(3)估算一下雷諾數，取空氣的密度ρ=1.29 kg/m3,運動速度v=1 m/s,則

Re=2.9×103

斯托克斯公式不再適用，應用式(2).乒乓球下落運動的空氣阻力應與速度的二次方成正比，而不是一次方成正比.令乒乓球收尾速度為v∞，則

(4)

代入數據得

v∞=9.04 m/s

乒乓球在空氣中的收尾速度約9 m/s，可用簡單的實驗加以驗證.

先對乒乓球的運動學量進行解算.選釋放點為坐標原點，豎直向下為x軸正向，根據牛頓第二定律有

(5)

將式(2)代入式(5)，分離變量，兩邊積分

得到速度與時間的函數關系

(6)

圖2

圖2為乒乓球在有無空氣阻力時，下落運動速度圖像的對比,圖中自由落體圖線

g(x)=9.8x

有空氣阻力時的圖線

從圖2可知，當速度大于6 m/s,兩者已有明顯的時間差.

將式(6)改寫成

分離變量，并兩邊積分(加初始條件)，得到位移與時間關系

(7)

代入乒乓球的相關參數，得到

圖3為乒乓球在有無空氣阻力情況下，下落運動的位移圖像對比，圖3中自由落體圖線

f(x)=4.9x2

有空氣阻力時位移隨時間的圖線為

下落高度為10 m時，時間差有0.3 s.

圖3

我們在實驗樓內院，標定6個高度，用秒表測量不同高度的下落時間，記錄表1.作為對比，第一列是實際測量時間，第二列是自由落體時間，第三列是有阻力下落的理論值.圖4是相關的位移圖像,圖4中自由落體圖線

g(x)=4.9x2

有空氣阻力時的圖線

表1 乒乓球下落時測量的數據

圖4

乒乓球下落高度與時間的實驗圖線表明，它在空氣中下落的收尾速度應為9～10 m/s.籃球的質量m=0.6 kg，直徑d=0.25 m，由式(4) 可計算出籃球下落的收尾速度為

高空跳傘者通過改變其身體的方向和形狀來增大或減小他們的收尾速度.當他們向水平方向張開雙臂，就如同張著翅膀的鷹下落時的樣子，他們的最小收尾速度大約是60 m/s，讀者不妨估算一下.這些測算下落物體的收尾速度與公認值基本是一致的.

圖5是從理論上得到的乒乓球下落運動的速度圖像和位移圖像，其中自由落體:速度圖線r(x)=9.8x,位移圖線s(x)=4.9x2.

阻力與速度一次方成正比:速度圖線

位移圖線

圖5

阻力與速度二次方成正比:速度圖線

位移圖線

3 案例的實施

本案例在運動學、牛頓運動定律學習結束后，分2學時完成.

(1)呈現案例

定性描述：乒乓球無初速度釋放后的運動，作出它運動的速度圖像、位移圖像.

觀察與猜想：乒乓球與金屬小球在高度2 m以下，自由釋放，幾乎同時落地.在更高的高度下情況如何？

(2)分析和討論案例

實驗與推測：空氣阻力和收尾速度的關系；空氣阻力與哪些因素有關？

設計實驗：應用控制變量法，研究氣球的收尾速度與質量的關系.若

則是收尾速度與質量成正比；若

則收尾速度與質量的平方根成正比.

建立阻力表達式模型：常見的用圓柱體，得到

在案例討論中，居核心地位的是解決案例中所包含的疑難問題或作出解決問題的種種備選方案.諸如，乒乓球的變加速運動以及它所受的空氣阻力如何處理，教科書上沒有現成的理論；空氣阻力的表達式需要經過猜想，再用實驗進行驗證等.

(3)分組討論和實驗并得出結論

這是在第二學時進行，學生已有了較充分的準備，包括流體阻力的知識、實驗方案器材甚至數學微積分等各個方面.乒乓球接近收尾速度要在2 s(高度10 m)以后，氣球接近收尾速度可控制在1 s(高度2.5 m)以內.用秒表測量從某高度的下落時間，通過位移圖像計算落體的收尾速度只能是粗略的.如果能用數碼相機借助一些抓圖、圖像編輯軟件，學生就可以制作頻閃照片，較準確地測定落體的收尾速度.得到了空氣阻力的表達式，就能定性、半定量甚至量化研究落體的運動.

本案例也可在大學低年級學生中開展研究.

4 本案例的價值

金屬小球、乒乓球、氣球的下落運動過程中，空氣阻力的作用依次凸顯出來，將自然事件中的真實情境引入課堂，通過對這些生活事例的分析、研究和討論，可以很有效地調動起學生探索自然、理解自然的興趣與熱情.

本案例能夠在運用運動學、動力學知識的過程中，讓學生體驗科學研究的過程與方法，培養學生良好的科學態度.對于流體阻力表達式的探究，落體收尾速度自主實驗的設計都具有挑戰性.案例不同于平時的課本教學，沒有現成理論的直接套用；也不同于課后習題，沒有已知條件，思維是發散的、開放的，這些正是案例教學的魅力之處.

參考文獻

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程:力學.北京:高等教育出版社,1995