圓錐擺模型的橫向拓展

滿孝旭

(棗莊市第三中學 山東 棗莊 277100)

通過平時的教學，筆者發現對于習題，學生總是教師講過哪些題目就會哪些題目，而對于一些變形的題目則找不出思路，不知如何下手.再者，教師在平時的教學中經常給學生說要學會思考，要觸類旁通，可學生還是不知道該怎么辦.實際上，在教學過程中，我們應教會學生怎么去觸類旁通.筆者以圓錐擺模型為例談談如何將基本模型橫向拓展.

1 圓錐擺模型

小球的質量為m,通過質量不計的細繩懸掛于O點.小球擺動后細線與豎直方向成θ角且小球在水平面內做勻速圓周運動,半徑為R(因小球與細繩擺動后形成一個圓錐形，故稱之為圓錐擺).

圖1

小球在水平面內做勻速圓周運動，加速度必定指向圓心(合力指向圓心)，又因為是勻速圓周運動，合力提供向心力.依據牛頓第二定律，對擺球受力分析(圖1)，得

F合=F向

F合=mgtanθ

即

小結：問題的關鍵在于合力指向圓心，合力等于向心力.

2 拓展

圖2

【例1】有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如圖2所示，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉盤邊緣，轉盤可繞穿過其中心的豎直軸轉動．當轉盤以角速度ω勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角為θ.不計鋼繩的重力，求轉盤轉動的角速度ω與夾角θ的關系．

分析：此題是一個很簡單的圓錐擺模型的拓展，解決的辦法還是先進行受力分析,然后得到方程F合=F向，即物體所受合力等于向心力.不同的是向心力表達式中的半徑應表示為

R=r+Lsinθ

【例2】兩個質量相同的小球甲和乙，用等長的不計質量的細繩懸掛于O點，且兩球均在水平面內做勻速圓周運動，如圖3所示.甲運動的半徑比乙的大(甲在乙的上方)，則

A．甲受到的向心力比乙的大

B．乙受到的向心力比甲的大

C．甲的角速度比乙的大

D.乙的角速度比甲的大

分析：讀完此題后很多學生很快就能分析出A，B兩個選項.設兩繩子與豎直方向的夾角分別為θ甲和θ乙，由題意知，θ甲>θ乙，因

F合=mgtanθ=F向

圖3

得甲受到的向心力大于乙受到的向心力.但到了后兩個選項的時候就不知如何分析了.實際上基本思路沒有變.用角速度表示出向心力，得方程

mgtanθ=mω2R

分析方程發現θ，ω，R三個量都不一樣，根本判斷不出角速度的大小.這時可能部分學生會選擇放棄.但再讀一遍題會發現，題目中還有一個條件，兩繩長度一樣沒用上.由此，自然會想到用繩長表示半徑，得方程

mgtanθ=mω2Lsinθ

化簡得

因θ甲>θ乙，很明顯甲的角速度比乙的大.

答案：選項A，C.

【例3】兩個質量相同的小球丙、丁，在同一水平面內做勻速圓周運動，懸點相同.如圖4所示，丙運動的半徑比丁的大，則

A．丙受到的向心力比丁的大

B．丁受到的向心力比丙的大

C．丙的角速度比丁的大

D.丁的角速度比丙的大

圖4

分析：有了上一道題做鋪墊，這道題就容易多了.只不過在分析角速度時要用高度來表示丙、丁兩個小球做圓周運動的半徑，因為題目中說兩個小球在同一水平面內做勻速圓周運動.具體解析過程這里不再贅述.

答案：選項A.

圖5

【例4】如圖5所示，兩繩一端系一質量m=0.1 kg的小球，另一端分別固定于軸的A,B兩處.上面繩長l=2 m，兩繩拉直時與軸的夾角分別為30°和60°，問球的角速度在什么范圍內兩繩始終有張力?

分析：設兩細繩都拉直時，A,B繩的拉力分別為TA,TB.小球的質量為m，A繩與豎直方向的夾角為θ=30°，B繩與豎直方向的夾角為α=60°.

當角速度無限小時B繩就不是拉直狀態了，故角速度取最小值時B繩拉直且恰無拉力.受力分析如圖5所示，可得

得

當角速度無限大時A繩就不是拉直狀態了，故角速度取最大值時A繩伸直且恰無拉力.同理可得

得

所以，兩繩始終有張力，角速度的范圍是

小結：該類問題無論怎么拓展，解題的基本思想不會變，即合力提供向心力，只不過向心力的表達式要根據題意表示出來.

3 結束語

其實學習物理并不難，很多學生之所以認為物理難學，實際是沒有把握住物理規律或者是對物理規律的理解不透徹.所以,在以后的物理學習中要特別注意對物理規律的理解，對基本模型和一些拓展理解透徹，才能舉一反三.