三階Levi-Civita 張量在量子力學中的應用

徐曉梅 李云德

(云南師范大學物理系 云南 昆明 650500) (云南大學物理系 云南 昆明 650091)

眾所周知，量子力學現在已經發展成為現代高科技的理論基礎.然而，由于量子力學基本概念及處理問題的方法與大家所熟悉的經典物理有較大的差別，因此，初學者在量子力學學習過程中會遇到許多困難. 最常見的困難之一是不知道如何解習題.盡管為解決這個問題，已出版了許多習題解答方面的著作，如比較流行的文獻[1].但是由于這些解答所用的方法通常比較靈活，學生不容易掌握.我們根據多年的教學經驗，對量子力學中力學量對易關系的證明類習題給出一般解法，以期幫助學生克服解此類習題的困難. 這里給出的一般解法，不僅對于初學者有用，而且對于有一定基礎的大學高年級學生以及研究生在學習高等量子力學時，在加深對量子力學的理解和提高應用量子力學解決問題能力方面，都具有啟發和益處.

1 Levi-Civita張量的定義及其基本性質

Levi-Civita張量為三階完全反對稱單位張量，其定義為[2]：

εαβγ=1，其中α，β，γ為1，2，3的偶對換；εαβγ=-1，其中α，β，γ為1，2，3的奇對換；εαβγ=0，其中α，β，γ中有兩個以上指標相同. Kronecker張量定義為

在下面的討論中采用下列求和約定

(1)

(2)

(3)

在此求和慣例下Levi-Civita張量所滿足的關系可簡寫為

εαβγεαβγ=6

(4)

εαβγεαβλ=2δγλ

(5)

εαβγεαλδ=δβλδγδ-δβδδγλ

(6)

量子力學中坐標、動量、角動量的基本對易關系可簡寫為

[xα,pβ]=i?δαβ

(7)

[lα,lβ]=i?εαβγlγ

(8)

[lα,xβ]=i?εαβγxγ

(9)

[lα,pβ]=i?εαβγpγ

(10)

2 Levi-Civita張量的應用舉例

利用上述10個基本等式，原則上可以很方便地處理量子力學中有關矢量、張量算子的點乘積、叉乘積、對易子等聯合運算.學生無需看習題解答即可完成文獻[2～4]中第四章的大部分習題.現舉例說明上述公式的應用.在下邊的例題證明中用到了一些簡單的恒等式，如pili=ljpj=0，εijkpipj=0.這些式子從基本對易關系式(7)～(10)很容易得到證明.以下我們將列舉一些在量子力學習題中較難的習題，說明用Levi-Civita張量解題的方法.

【例1】求證：(l×p)2=l2p2

先把式中左邊的算子利用公式(1)寫成第α分量形式；然后利用公式(2)將叉乘積用Levi-Civita張量展開；最后再利用公式(6)把Levi-Civita張量表示成Kronecker張量，化簡即可得到證明.

證明：原式左邊=

(l×p)α(l×p)α=εαβγεαλδlβpγlλpδ=

(δβλδγδ-δβδδγλ)lβpγlλpδ=

lβpγlβpγ=lβ(lβpγ-i?εβγηpη)pγ=l2p2

【例2】求證：-(p×l)·(l×p)=

l2p2+4?2p2

此題的證明方法與例1相似.在中間的運算過程中，為了得到與右邊相同的形式而多次利用了動量-角動量的對易關系式(10).

證明：原式左邊=-(p×l)·(l×p)=

-(p×l)α(l×p)α=-εαβγεαλδpβlγlλpδ=

(δβδδγλ-δβλδγδ)pβlγlλpδ=pβlγ(lγpβ-lβpγ)=

(lγpβ-i?εγβηpη)(lγpβ-lβpγ)=

lγpβ(lγpβ-lβpγ)-i?εγβηpη(lγpβ-lβpγ)=

lγ(lγpβ-i?εγβδpδ)pβ-i?εγβη{(lγpη-i?εγητpτ)pβ-

(lβpη-i?εβημpμ)pγ}=

l2p2-?2εγβηεγητpτpβ+?2εγβηεβημpμpγ=

l2p2+4?2p2

【例3】求證： (l×p)×(l×p)=-i?lp2

此題只要對其中一個分量加以證明即可.為此，利用公式(2)將上述等式的左邊的一個分量寫出來加以證明.

證明：原式左邊=[(l×p)·(l×p)]α=

εαβγ(l×p)β(l×p)γ=εαβγεβλδεγμνlλpδlμpν=

(δαδδγλ-δαλδγδ)εγμνlλpδlμpν=

εγμν{lγ(lμpα-i?εμαηpη)pν-lα(lμpγ-i?εμγτpτ)pν}=

εγμνlγlμpαpν-i?εγμνεμαηlγpηpν-εγμνlαlμpγpν+

i?εγμνεμγτlαpτpν=i?lνpαpν+i?(δγαδνη-δγηδνα)·

lγpηpν-2i?δντlαpτpν=-i?lαp2

【例4】求證：p×(l×p)=lp2

此題在文獻 [2～4]中有誤(詳見文獻[2～4]中第四章習題15).

證明：對式中左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=[p×(l×p)]α=

εαβγpβ(l×p)γ=εαβγpβεγλδlλpδ=

(δαλδβδ-δαδδβλ)pβlλpδ=pβlαpβ-pβlβpα=

{lαpβ-[lα,pβ]}pβ=lαp2

【例5】設J為角動量算符，A為矢量算符，且滿足代數關系[Jα,Aβ]=iεαβγAγ(這里為簡單起見，取?=1).證明：

(1)J×(J×A)=(J·A)J-J2A+iJ×A

(2)[J2,[J2,A]]=2(J2A+AJ2)-4J(J·A)

證明：(1)對等式左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=εαβγJβ(J×A)γ=

εαβγεγλρJβJλAρ=(δαλδβρ-δαρδβλ)JβJλAρ=

JβJαAβ-JβJβAα=Jβ(AβJα+iεαβλAλ)-JβJβAα=

JβAβJα-JβJβAα+iεαβλJβAλ=

(J·A)Jα-J2Aα+i(J×A)α

(2)對等式左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=

[J2,[J2,Aα]]=[J2,[JβJβ,Aα]]=

Jβ[J2,[Jβ,Aα]]+[J2,[Jβ,Aα]]Jβ=

iεβαλ{Jβ[JγJγ,Aλ]+[JγJγ,Aλ]Jβ}=

iεβαλ{JβJγ[Jγ,Aλ]+[Jγ,Aλ]JγJβ+

Jβ[Jγ,Aλ]Jγ+Jγ[Jγ,Aλ]Jβ}=

-εβαλεγλρ{JβJγAρ+AρJγJβ+JβAρJγ+JγAρJβ}=

-εβαλεγλρ{2JβJγAρ+2AρJγJβ-iεγρμJβAμ+

iεγρνAνJβ}=(δβγδαρ-δβρδαγ){2JβJγAρ+2AρJγJβ+

εβμνAν-iεγρμJβAμ+iεγρνAνJβ}=2JβJβAα+

2AαJβJβ-2JβJαAβ-2AβJαJβ+2iεαβμJβAμ-

2iεαβνAνJβ=2JβJβAα+2AαJβJβ-

2(JαJβ-iεαβλJλ)Aβ-2(JαAβ-iεαβλAλ)Jβ+

2iεαβμJβAμ-2iεαβνAνJβ=

2JβJβAα+2AαJβJβ-4JαJβAβ=

2(J2Aα+AαJ2)-4Jα(J·A)

【例6】求證：

證明：對式中左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=

此題的證明過程中利用了恒等式

可以看出，以上的解題過程是程式化的.利用上述10個基本等式，先將力學量之間矢量、張量的點乘積、叉乘積、對易子等聯合運算分解為分量的運算，這樣就把復雜的矢量、張量運算簡化為簡單的乘積運算；同時，要注意力學量的非對易性質，算子之間交換位置必須利用對易關系.

最后需說明，利用Levi-Civita 張量只是簡化了矢量的運算，在量子力學中矢量、張量運算必須同時滿足矢量、張量及對易子運算規則.此外，Levi-Civita 張量在經典電動力學中的應用，同樣也可以使許多看起來無從下手的問題簡單化.

參考文獻

1 錢伯初，曾謹言. 量子力學習題精選剖析(卷Ⅰ). 北京：科學出版社，1999. 94～110

2 曾謹言. 量子力學(卷Ⅰ). 北京：科學出版社，2000.175～244

3 曾謹言. 量子力學導論. 北京：北京大學出版社，2003. 251～259

4 曾謹言. 量子力學(卷Ⅰ). 北京：科學出版社，2007. 121～153

5 馬中琪. 物理學中的群論. 北京：科學出版社，1998. 4～5