三階Levi-Civita 張量在量子力學(xué)中的應(yīng)用

徐曉梅 李云德

(云南師范大學(xué)物理系 云南 昆明 650500) (云南大學(xué)物理系 云南 昆明 650091)

眾所周知，量子力學(xué)現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為現(xiàn)代高科技的理論基礎(chǔ).然而，由于量子力學(xué)基本概念及處理問題的方法與大家所熟悉的經(jīng)典物理有較大的差別，因此，初學(xué)者在量子力學(xué)學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到許多困難. 最常見的困難之一是不知道如何解習(xí)題.盡管為解決這個(gè)問題，已出版了許多習(xí)題解答方面的著作，如比較流行的文獻(xiàn)[1].但是由于這些解答所用的方法通常比較靈活，學(xué)生不容易掌握.我們根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)量子力學(xué)中力學(xué)量對(duì)易關(guān)系的證明類習(xí)題給出一般解法，以期幫助學(xué)生克服解此類習(xí)題的困難. 這里給出的一般解法，不僅對(duì)于初學(xué)者有用，而且對(duì)于有一定基礎(chǔ)的大學(xué)高年級(jí)學(xué)生以及研究生在學(xué)習(xí)高等量子力學(xué)時(shí)，在加深對(duì)量子力學(xué)的理解和提高應(yīng)用量子力學(xué)解決問題能力方面，都具有啟發(fā)和益處.

1 Levi-Civita張量的定義及其基本性質(zhì)

Levi-Civita張量為三階完全反對(duì)稱單位張量，其定義為[2]：

εαβγ=1，其中α，β，γ為1，2，3的偶對(duì)換；εαβγ=-1，其中α，β，γ為1，2，3的奇對(duì)換；εαβγ=0，其中α，β，γ中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同. Kronecker張量定義為

在下面的討論中采用下列求和約定

(1)

(2)

(3)

在此求和慣例下Levi-Civita張量所滿足的關(guān)系可簡(jiǎn)寫為

εαβγεαβγ=6

(4)

εαβγεαβλ=2δγλ

(5)

εαβγεαλδ=δβλδγδ-δβδδγλ

(6)

量子力學(xué)中坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量的基本對(duì)易關(guān)系可簡(jiǎn)寫為

[xα,pβ]=i?δαβ

(7)

[lα,lβ]=i?εαβγlγ

(8)

[lα,xβ]=i?εαβγxγ

(9)

[lα,pβ]=i?εαβγpγ

(10)

2 Levi-Civita張量的應(yīng)用舉例

利用上述10個(gè)基本等式，原則上可以很方便地處理量子力學(xué)中有關(guān)矢量、張量算子的點(diǎn)乘積、叉乘積、對(duì)易子等聯(lián)合運(yùn)算.學(xué)生無需看習(xí)題解答即可完成文獻(xiàn)[2～4]中第四章的大部分習(xí)題.現(xiàn)舉例說明上述公式的應(yīng)用.在下邊的例題證明中用到了一些簡(jiǎn)單的恒等式，如pili=ljpj=0，εijkpipj=0.這些式子從基本對(duì)易關(guān)系式(7)～(10)很容易得到證明.以下我們將列舉一些在量子力學(xué)習(xí)題中較難的習(xí)題，說明用Levi-Civita張量解題的方法.

【例1】求證：(l×p)2=l2p2

先把式中左邊的算子利用公式(1)寫成第α分量形式；然后利用公式(2)將叉乘積用Levi-Civita張量展開；最后再利用公式(6)把Levi-Civita張量表示成Kronecker張量，化簡(jiǎn)即可得到證明.

證明：原式左邊=

(l×p)α(l×p)α=εαβγεαλδlβpγlλpδ=

(δβλδγδ-δβδδγλ)lβpγlλpδ=

lβpγlβpγ=lβ(lβpγ-i?εβγηpη)pγ=l2p2

【例2】求證：-(p×l)·(l×p)=

l2p2+4?2p2

此題的證明方法與例1相似.在中間的運(yùn)算過程中，為了得到與右邊相同的形式而多次利用了動(dòng)量-角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系式(10).

證明：原式左邊=-(p×l)·(l×p)=

-(p×l)α(l×p)α=-εαβγεαλδpβlγlλpδ=

(δβδδγλ-δβλδγδ)pβlγlλpδ=pβlγ(lγpβ-lβpγ)=

(lγpβ-i?εγβηpη)(lγpβ-lβpγ)=

lγpβ(lγpβ-lβpγ)-i?εγβηpη(lγpβ-lβpγ)=

lγ(lγpβ-i?εγβδpδ)pβ-i?εγβη{(lγpη-i?εγητpτ)pβ-

(lβpη-i?εβημpμ)pγ}=

l2p2-?2εγβηεγητpτpβ+?2εγβηεβημpμpγ=

l2p2+4?2p2

【例3】求證： (l×p)×(l×p)=-i?lp2

此題只要對(duì)其中一個(gè)分量加以證明即可.為此，利用公式(2)將上述等式的左邊的一個(gè)分量寫出來加以證明.

證明：原式左邊=[(l×p)·(l×p)]α=

εαβγ(l×p)β(l×p)γ=εαβγεβλδεγμνlλpδlμpν=

(δαδδγλ-δαλδγδ)εγμνlλpδlμpν=

εγμν{lγ(lμpα-i?εμαηpη)pν-lα(lμpγ-i?εμγτpτ)pν}=

εγμνlγlμpαpν-i?εγμνεμαηlγpηpν-εγμνlαlμpγpν+

i?εγμνεμγτlαpτpν=i?lνpαpν+i?(δγαδνη-δγηδνα)·

lγpηpν-2i?δντlαpτpν=-i?lαp2

【例4】求證：p×(l×p)=lp2

此題在文獻(xiàn) [2～4]中有誤(詳見文獻(xiàn)[2～4]中第四章習(xí)題15).

證明：對(duì)式中左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=[p×(l×p)]α=

εαβγpβ(l×p)γ=εαβγpβεγλδlλpδ=

(δαλδβδ-δαδδβλ)pβlλpδ=pβlαpβ-pβlβpα=

{lαpβ-[lα,pβ]}pβ=lαp2

【例5】設(shè)J為角動(dòng)量算符，A為矢量算符，且滿足代數(shù)關(guān)系[Jα,Aβ]=iεαβγAγ(這里為簡(jiǎn)單起見，取?=1).證明：

(1)J×(J×A)=(J·A)J-J2A+iJ×A

(2)[J2,[J2,A]]=2(J2A+AJ2)-4J(J·A)

證明：(1)對(duì)等式左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=εαβγJβ(J×A)γ=

εαβγεγλρJβJλAρ=(δαλδβρ-δαρδβλ)JβJλAρ=

JβJαAβ-JβJβAα=Jβ(AβJα+iεαβλAλ)-JβJβAα=

JβAβJα-JβJβAα+iεαβλJβAλ=

(J·A)Jα-J2Aα+i(J×A)α

(2)對(duì)等式左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=

[J2,[J2,Aα]]=[J2,[JβJβ,Aα]]=

Jβ[J2,[Jβ,Aα]]+[J2,[Jβ,Aα]]Jβ=

iεβαλ{(lán)Jβ[JγJγ,Aλ]+[JγJγ,Aλ]Jβ}=

iεβαλ{(lán)JβJγ[Jγ,Aλ]+[Jγ,Aλ]JγJβ+

Jβ[Jγ,Aλ]Jγ+Jγ[Jγ,Aλ]Jβ}=

-εβαλεγλρ{JβJγAρ+AρJγJβ+JβAρJγ+JγAρJβ}=

-εβαλεγλρ{2JβJγAρ+2AρJγJβ-iεγρμJβAμ+

iεγρνAνJβ}=(δβγδαρ-δβρδαγ){2JβJγAρ+2AρJγJβ+

εβμνAν-iεγρμJβAμ+iεγρνAνJβ}=2JβJβAα+

2AαJβJβ-2JβJαAβ-2AβJαJβ+2iεαβμJβAμ-

2iεαβνAνJβ=2JβJβAα+2AαJβJβ-

2(JαJβ-iεαβλJλ)Aβ-2(JαAβ-iεαβλAλ)Jβ+

2iεαβμJβAμ-2iεαβνAνJβ=

2JβJβAα+2AαJβJβ-4JαJβAβ=

2(J2Aα+AαJ2)-4Jα(J·A)

【例6】求證：

證明：對(duì)式中左邊的第α分量證明即可.

原式左邊=

此題的證明過程中利用了恒等式

可以看出，以上的解題過程是程式化的.利用上述10個(gè)基本等式，先將力學(xué)量之間矢量、張量的點(diǎn)乘積、叉乘積、對(duì)易子等聯(lián)合運(yùn)算分解為分量的運(yùn)算，這樣就把復(fù)雜的矢量、張量運(yùn)算簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算；同時(shí)，要注意力學(xué)量的非對(duì)易性質(zhì)，算子之間交換位置必須利用對(duì)易關(guān)系.

最后需說明，利用Levi-Civita 張量只是簡(jiǎn)化了矢量的運(yùn)算，在量子力學(xué)中矢量、張量運(yùn)算必須同時(shí)滿足矢量、張量及對(duì)易子運(yùn)算規(guī)則.此外，Levi-Civita 張量在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，同樣也可以使許多看起來無從下手的問題簡(jiǎn)單化.

參考文獻(xiàn)

1 錢伯初，曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)習(xí)題精選剖析(卷Ⅰ). 北京：科學(xué)出版社，1999. 94～110

2 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)(卷Ⅰ). 北京：科學(xué)出版社，2000.175～244

3 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)導(dǎo)論. 北京：北京大學(xué)出版社，2003. 251～259

4 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)(卷Ⅰ). 北京：科學(xué)出版社，2007. 121～153

5 馬中琪. 物理學(xué)中的群論. 北京：科學(xué)出版社，1998. 4～5