Hubbard模型中格林函數(shù)的數(shù)值計(jì)算

朱家昆，肖海波，舒崧

(湖北大學(xué)物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

高溫氧化物超導(dǎo)體理論和實(shí)驗(yàn)的研究是當(dāng)今材料科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱門方向，其所涉及到的物理內(nèi)涵異常豐富.隨著摻雜程度的變化，高溫氧化物將展現(xiàn)出反鐵磁性、半導(dǎo)導(dǎo)電行為、超導(dǎo)電性、強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)以及新型金屬行為等[1].傳統(tǒng)的BCS理論已經(jīng)無(wú)法解釋高溫氧化物的超導(dǎo)電性，于是在高溫氧化物超導(dǎo)體被發(fā)現(xiàn)之后的20余年間，出現(xiàn)了眾多的理論流派[2-3]，尤以Anderson 的非費(fèi)米液體高溫超導(dǎo)理論最為著名，它認(rèn)為高溫超導(dǎo)體的特殊性質(zhì)是由于組成材料的微觀粒子之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)作用引起的，而高溫超導(dǎo)體則是一個(gè)強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系[4].對(duì)于該強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系，可以用Hubbard模型來(lái)描述，Hubbard模型在處理具體的強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)當(dāng)中計(jì)算比較復(fù)雜，要用到一些數(shù)值的方法.本文中主要采用動(dòng)態(tài)平均場(chǎng)論方法結(jié)合量子蒙特卡洛模擬(QMC)研究Hubbard模型的數(shù)值求解問(wèn)題.

1 Hubbard模型和動(dòng)態(tài)平均場(chǎng)論

由于高溫銅氧化物超導(dǎo)體的超導(dǎo)電性發(fā)生于絕緣體-金屬相變附近，Anderson認(rèn)為可用一個(gè)近半填充的單帶Hubbard模型描述該系統(tǒng)[5]：

(1)

其中niσ=ciσ+ciσ為粒子數(shù)算符，ciσ+和ciσ為原子i中電子的產(chǎn)生與湮沒(méi)算符，σ表示自旋.t=tij(若i、j為最近鄰)對(duì)應(yīng)于能帶半寬度，U則是格位i上的庫(kù)侖排斥能(即Hubbard能)，μ為化學(xué)勢(shì).

Hubbard早期工作提出了一個(gè)非常接近于Mott初始思想的相變構(gòu)想，嘗試著給出了一個(gè)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的能帶描述，以氫原子為例，設(shè)想有N個(gè)氫原子逐漸靠近而排列成晶格，當(dāng)每個(gè)原子只有一個(gè)電子時(shí)，相當(dāng)于中性氫原子態(tài)H0，當(dāng)每個(gè)原子有兩個(gè)電子時(shí)，電子之間的庫(kù)侖排斥作用，使它們之間有正的Hubbard能U，這時(shí)相當(dāng)于氫的負(fù)離子態(tài)H-.若ε0表示第一個(gè)電子的能量，ε0+U表示第二個(gè)電子的能量.但當(dāng)氫原子間相互靠近時(shí)，能級(jí)拓展為能帶，分別稱為下Hubbard帶和上Hubbard帶.當(dāng)相鄰原子電子波函數(shù)重疊很小時(shí)，能帶寬度很窄，上、下Hubbard帶是分離的，下Hubbard帶是滿帶，上Hubbard帶是空帶，呈現(xiàn)出絕緣體性質(zhì).當(dāng)原子逐漸靠近，上、下Hubbard帶發(fā)生交疊，而且都變成部分填充的能帶，呈現(xiàn)出金屬電導(dǎo)的性質(zhì)，這種由上、下Hubbard帶引起的金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變，稱為Mott轉(zhuǎn)變[6].

這里采用的方法叫做局域摻雜自洽近似(LISA)[7].LISA是Weiss平均場(chǎng)理論在量子多體問(wèn)題中的自然推廣.但是，和普通平均場(chǎng)理論不同的是，在這種方法中并沒(méi)有假定所有的漲落都被凍結(jié)了，確切地說(shuō)，它凍結(jié)了空間漲落卻充分考慮了局域量子漲落.所以，LISA方法可以被認(rèn)為是一種“動(dòng)態(tài)平均場(chǎng)論方法”，在具體計(jì)算中，它可以用不同的數(shù)值方法來(lái)處理，例如精確對(duì)角化方法[8]、迭代微擾法[9]和量子蒙特卡洛方法[10-11].本文中主要采用量子蒙特卡洛方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

2 量子蒙特卡洛方法和格林函數(shù)的計(jì)算

(2)

由有效作用量我們可以得到相應(yīng)得Weiss有效場(chǎng)函數(shù)：

g0(iωn)-1=iωn+μ+G(iωn)-1-R[G(iωn)]

(3)

其中G(iωn)代表著從有效作用量Seff計(jì)算而來(lái)的格林函數(shù).

(4～5)

R[G(iωn)]可以根據(jù)對(duì)態(tài)密度函數(shù)經(jīng)過(guò)一個(gè)Hilbert變換所得的函數(shù)取反函數(shù)而得到其具體形式，而態(tài)密度函數(shù)對(duì)于給定系統(tǒng)，通過(guò)計(jì)算可以直接給出.設(shè)態(tài)密度函數(shù)為D(ε)，則Hilbert變換和其反函數(shù)為如下定義：

(6)

方程(2～4)構(gòu)成了一組關(guān)于Weiss場(chǎng)函數(shù)g0和格林函數(shù)G的完備方程組，可以用來(lái)自洽的求解格林函數(shù)G.

在實(shí)際計(jì)算中，還可以在動(dòng)量空間中進(jìn)行計(jì)算.如果在動(dòng)量空間，格林函數(shù)可寫(xiě)為：

(7)

(8)

在一般理論計(jì)算當(dāng)中，格林函數(shù)是一個(gè)重要的量.如果計(jì)算出格林函數(shù)G，就可以得到相應(yīng)的熱力學(xué)函數(shù)，從而進(jìn)一步去討論系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì).計(jì)算格林函數(shù)G需要用到不同的數(shù)值方法，下面將重點(diǎn)用蒙特卡洛方法來(lái)計(jì)算格林函數(shù)G.

具體計(jì)算要采用迭代的方法，其大體思路為：由于格林函數(shù)G需要通過(guò)有效作用量所給出的Weiss場(chǎng)函數(shù)g0來(lái)獲得，第一步假設(shè)g0被給出，通過(guò)Hirsch-Fye算法[10]和傅立葉變換(FT)計(jì)算出G，還有自能∑；然后它們被自洽的用作條件輸入來(lái)產(chǎn)生一個(gè)新的Weiss場(chǎng)g0.這個(gè)過(guò)程一直迭代直到得到一個(gè)收斂的解(G，g0).

具體迭代步驟如下：

1)先計(jì)算出相應(yīng)的自能：

(9)

2)通過(guò)Hilbert變換，從上式?jīng)Q定的自能可以得到一個(gè)新的格林函數(shù)：

(10)

3)從Gnew(iωn)開(kāi)始，通過(guò)傅立葉逆變換(IFT)又可以得到g0new(τ)，從而得到一個(gè)完整的自洽循環(huán)：

(11)

3 數(shù)值結(jié)果及討論

圖1 格林函數(shù)在反鐵磁相下對(duì)于不同溫度的數(shù)值結(jié)果

圖2 格林函數(shù)在順磁相下對(duì)于不同溫度的數(shù)值結(jié)果

圖3 格林函數(shù)在順磁相下對(duì)于不同Hubbard能的數(shù)值結(jié)果

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