多重延遲復合更新風險模型中的局部破產概率

萬成高

(湖北大學數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

(1)

其中常數c(0

(2)

這里x≥0代表保險公司初始資本.

(1)S*={F：

對任意的γ≥0，有Sd(γ)?S(γ)?L(γ).但當γ>0時，由文獻[3]知F∈Sd(γ) ?F∈S(γ).

1 模型與主要結論

在保險公司的日常運營中，由于種種原因，總會有幾次發生索賠的時間間隔特殊，不妨假設是前有限次，因此有一些問題就不能按通常的方法來處理.為此建立下述模型，來研究這些情況對我們關心的破產問題所產生的影響.

到時刻t為止的風險過程{S(t):t≥0)}定義為

(3)

(4)

若k≥2,則稱上述模型為隨機多延遲復合更新模型；若k=1,則稱上述模型為一重延遲更新風險模型，即平常所說的延遲復合更新風險模型；若k=0，則上述模型即為普通復合更新風險模型.

(5)

用D+來表示R(N1)-R(k)的分布，令f+,g+分別為R(N1)-R(k)的F-S變換和L-S變換，即

定理1在ρ1>0的多重延遲復合更新風險模型中，若索賠額分布F∈S*,則對任意z>0有

(6)

定理2在ρ1>0的k重延遲復合更新風險模型中，若B<∞,-γ是fD(iλ)的收斂域的左橫坐標，若γ>0及fD(-iγ)<1,則下列關系成立D∈S(γ)?D+∈S(γ)?W∈S(γ)

(7)

(8)

其中C2s=C2,s-1fD1(-iγ)+(W2(0)+gW2(-γ))gG1(cγ)(gG(cγ))-1,s=1,2,…,k,及C20=C2.

定理3在ρ1>0的k的重延遲復合更新風險模型中，若B<∞,-γ是fD(iλ)的收斂域的左橫坐標，若γ>0及fD(-iγ)<1,則F∈Sd(γ)?K∈S(γ)?D∈S(γ)?D+∈S(γ)?W∈S(γ)

(9)

(10)

2 幾個定理

引理1[4]對某個γ≥0,F∈L(γ)當且僅當H(F,γ)≠Φ.

引理5對任意γ≥0,已知μ1(γ)<∞,如果F∈Sd(γ),那么也有K∈Sd(γ).

引理5的證明因為有

(11)

根據重尾族Sd(γ)的定義，便可知K∈Sd(γ).而對v≤x/2,有

(12)

從而由控制收斂定理得

(13)

另一方面，再由F∈S(γ)和控制收斂定理知

(14)

綜合(12)式及(13)式就有

(15)

再來證明I2→0.由(14)式可知存在一個ε>0,使得

從而就有

所以

(16)

聯合(12)式，(15)式以及(16)式就有(11)式成立，即K∈Sd(γ).

(17)

并且

K∈S(γ)?D∈S(γ)

(18)

故(17)式成立，由引理3知H(K,γ)=H(D,γ),從而據引理1有D∈L(γ),那么，再由引理2易見(18)式成立.

3 定理的證明

補救措施：如果在實際施工中遭遇錘頭掉落的現象，則需要現場有經驗的技術工人用自制的打撈鉤打撈，在打撈鉤使用前必須仔細檢查是否有尖銳突起或者尖利面，以免在打撈時對安全繩造成破壞，造成不可挽回的損失。

所以

W1(x,x+z]=W1(x+z)-W1(x)=

(19)

顯然

上述最后一項是因為當F∈S*=Sd(0)時，由引理5可知K∈Sd(0)=S*?S，故據控制收斂定理可得

(20)

(21)

(22)

(23)

先看I12，由(22)可知

再看I11,由(21)式有

(24)

定理2的證明我們用數學歸納法來證明，仍沿用前面的記號，則

由引理6，只須證明(8)式中的第一個漸近關系成立.

先證k=1時(8)式成立.已知K∈S(γ),由引理6及文獻[7]易知Dj∈S(γ),j=1,…,m.D∈S(γ),D+∈S(γ)及W∈S(γ).注意到此時M2中沒有延遲.因此，由D∈S(γ)及文獻[7]就有

(25)

任取h∈H(D,γ)=H(W∈,γ),我們用此h將ψ12(x)分解成如下形式：

(26)

則由(25)式，有

(27)

仍由(25)式及fD(-iγ)<∞知，gW2(-γ)<∞.由分部積分，W2∈S(γ),D1∈S(γ),我們有

(28)

聯合(27)式和(28)式得

即當k=1時，(8)式成立.

現假設k=s時，(8)式成立，即M中正好有s個延遲，則

(29)

仍由分部積分，W2∈S(γ)及D1∈S(γ),我們有

(30)

再結合(29)式及(30)式，可得

即k=s+1時，(8)式也成立，這就完成了定理2的證明.

定理3的證明在引理5中，已證當F∈Sd(γ)時, 也有K∈S(γ),從而K∈S(γ),再由引理6就得到K∈S(γ)?D∈S(γ),根據文獻[7]，從而有(9)式成立.

引理6的(17)式進一步說明了(10)式是成立的，因此完成了定理3的證明.

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