自相似測度對一些參數的連續依賴性

丁道新

(湖北第二師范學院數學與數量經濟學院，湖北 武漢 430205)

0 引言

關于分形測度或更一般的概率測度的Fourier分析以及各種性質的研究在近些年分形領域引起廣泛的興趣[1-6].本文中主要考慮自相似測度對一些參數的連續依賴性.設f1，f2，…fN，是d上的一族壓縮映射，那么{fi組成一個壓縮迭代函數系統(IFS)，則存在唯一的非空緊集K使得緊集K稱為關于壓縮迭代函數系統的不變集(或稱為吸引子).若映射為相似映射，我們稱這時的不變集為自相似集.通常情況下K或者K的邊界是分形集.對任意概率向量P(即存在唯一Borel概率測度μ使得

(1)

這里μ稱為自相似測度，且supp(μ)=K.關于自相似集的詳細論述參見文獻[7-8].

設(X，d)是緊度量空間，用M表示X上的概率測度的全體，即若μ∈M，則μ是X上的測度，并且μ(X)=1.用C(X)表示X→的連續函數的全體.稱f∈C(X)是Lipschitz函數，如果存在常數Mf，使得

|f(x)-f(y)|≤Mfd(x，y)，?x，y∈X，

這里Mf稱為f的Lipschitz常數，一般它隨f而變.特別地，若Mf=1，則記f∈Lip1.

定義1M上的Hutchinson度量dH定義為

我們可以得到：(1)dH是M上的度量；(2)(MdH)是完備度量空間[10].

我們再回到迭代函數系統，設{Kn}n∈是d上相似壓縮迭代函數系統列{{fin(x)=sinOx+ain}n∈所生成的自相似集列，K是相似壓縮迭代函數系統{fi(x)=siOx+ai所生成的自相似集，其中O是正交矩陣，ain，ai∈d(i=1，2，…，N).記Sn=(s1n，s2n，…，sNn)和S=(s1，s2，…，sN)，S的范數取‖S‖∞=max{si:1≤i≤N}，則當Sn、ain分別依范數收斂于S、ai時，Kn將依Hausdorff度量收斂于K[9].因此，存在一個緊集E?d使得K?E且Kn?E，?n∈.設μn是支撐在Kn上相對概率向量Pn=(p1n，p2n，…，pNn)的自相似測度，μ是支撐在K上相對概率向量P=(p1，p2，…，pN)的自相似測度.取X∶=E，我們有下面的結果.

定理1如果Sn→S，Pn→P，ain→ai(n→∞)，i=1，2，…，N則dH(μn，μ)→0.

1 定理1的證明

(2)

由g的任意性我們得到(2)式.

對任意g∈Lip1，由(1)式我們得

因為suppμ=K是一個緊集，所以存在一個正常數C使得對任意x∈K有‖x‖≤C，于是

.

我們知道自相似測度對Lebesgue測度要么是奇異的要么是絕對連續的[11]，比如作為一種自相似測度的Bernoulli卷積：

由定理1知當n→∞時有dH(μρ，n，μρ)→0，然而我們有下面的結果.

命題1存在一個Borel集B?使得序列不收斂于μ1/2(B).

Ti(x)=ρ(x+bi)，0<ρ<1，ρ-1∈，bi∈，1≤i≤N

(3)

其中bl=0.我們有下面的引理[14].

p1+p2Zb2+…+pNZbN=0

(4)

則相應的自相似測度μ是奇異的.

上面的結果也被Hu[15]和Niu[16]使用不同的技巧獲得.保持引理1的假設條件，得到下面的結果.

推論1如果存在某個i∈{1，2，…，N}使得pi>1/2，則μ是奇異的.

p1=|p2Z0b2+…+pNZ0bN|≤p2+…+pN=1-p1,

得到p1≤1/2，顯然矛盾！這樣就證明了方程(4)沒有單位根.再由引理1知μ是奇異的.

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