Stokes問題的Galerkin-Hermite小波方法

陳一鳴， 汪曉娟， 楊 瑩， 陳 娟

(1.燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004；2.中國礦業大學 理學院 江蘇 徐州 221116)

0 引言

Stokes問題是流體力學中最簡單的數學模型，描述黏性不可壓流體的流動,文獻[1]研究了它在典型域上的情形，得到了典型域上的自然積分方程.文獻[2]對此作了進一步研究，推出強奇異積分的計算方法，采用與區域形狀相關的Green函數形成的自然邊界元法計算了圓內區域Stokes問題，但并未得到剛度矩陣的計算公式.祝家麟[3]從速度—壓力公式出發，利用單層位勢表示定常Stokes 方程Dirichlet 問題的解，用Galerkin 邊界元法求解,但編程和計算都很繁瑣.

近10年來，小波分析被廣泛應用于偏微分方程和積分方程數值解[4-7].目前,與方程有關的各種類型的區域上的小波研究已有了許多成果,但構造區域上性質好的小波基仍然是一個非常重要的研究領域.本文將Galerkin-Hermite小波方法應用于圓內區域的Stokes問題,得到了簡便的剛度矩陣計算公式，對一個2J+3×2J+3階的剛度矩陣，僅需計算其中2J+3J+7個元素,大大降低了計算量.

1 Stokes問題自然邊界歸化[2,8]

設Ω為單位圓，其邊界Γ，考察式(1)的第二邊值問題，

(1)

由直角坐標變換，易得關于半徑R的圓內區域Ω的Stokes問題的Poisson積分公式：

(2)

Stokes問題(1)式相應的自然積分方程為

Ku0=g,

(3)

定義連續雙線性和連續線性泛涵：

(4)

2 Hermite插值小波[9]

定義1若尺度函數

定義2若小波函數

且當j∈N,n=1,…,2j+1-1時，

3 數值離散化

(5)

(6)

這里，p,q=0，1,-1≤j,j′≤J-1,0≤k≤Ij，0≤k′≤Ij′.

以及(b1,b2,…,bk)表示由{b1,b2,…,bk}產生的循環矩陣，則有

證明先計算矩陣A11的元素：

(i)當0≤j,j′≤J-1時，

利用Hermite小波的性質，直接積分計算，得：

(b)當p=q=0時，有I=0,且

綜上，類推可得定理2.

4 數值算例

將利用上述方法求解圓內Stokes問題第二邊值問題的數值解，設η=1.

例單位圓內第二邊值問題：

該問題的準確解是：u(r,θ)=(r2cos 2θ,r2sin 2θ),q(r,θ)=-8rcosθ,利用Hermite三角小波解它等價的自然邊界元方程對應的變分問題，若取J=0,則

它也等于該問題的準確解，則能量模估計及L2估計皆等于0.

定理1及定理2整個矩陣的計算及數值算例表明，由于很好利用了Hermite三角小波的性質，使得矩陣元素的計算量大大減少,無需編程和繁瑣的計算,較文獻[3]簡便,同時也避免了用有限元方法[10-11]求解中存在的構造混合元格式時自由度大、結構復雜等問題,充分利用了矩陣塊元素的對稱性、循環性、稀疏性,給數值解Stokes問題帶來了很大便利,節省了存儲空間。

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