基于動量衰減哈密頓算法的波束形成技術研究

張愛麗， 李志勇， 張志軍

(河南師范大學 計算機與信息技術學院 河南 新鄉 453007)

0 引言

智能天線利用現代數字信號處理技術動態地形成空間定向波束,使天線陣列方向圖主瓣對準有用信號到達方向,旁瓣或零陷對準干擾信號到達方向,從而達到充分利用移動用戶信號并抵消或最大程度地抑制干擾信號的目的.采用智能天線技術,不僅通過空分多址(spatial division multip le access,SDMA)提高系統容量,而且能夠降低多徑傳輸帶來的影響.因此,智能天線在移動通信系統中的應用技術已日益受到國內外研究人員的重視.在對智能天線的各種研究中，天線設計和天線陣列信號處理的非線性優化問題始終令人關注.電控寄生(ESPAR)天線是智能天線的一種，通過電抗加載來控制方向圖主瓣指向，又稱為電控無源陣列天線.將哈密頓算法應用到ESPAR天線的波束形成技術中，即將描述粒子運動的哈密頓方程應用于解決最優化問題.優化的目的是為了尋找最佳參數，此時代價函數的值最小[1].

1 關于哈密頓算法

在一個經典的由M個粒子構成的系統中，第i個粒子的質量為mi，瞬時位置坐標為xi，速度為vi,i=1,2,…,M.為簡單起見，僅考慮一維的歐式空間，假定每個粒子的質量都相同，即mi=m，引入一個線性動量pi=mvi，這樣xi和pi均為標量，系統的哈密頓方程定義為勢能U與動能K之和[2],

H(x1,x2,…,xM,p1,p2,…,pM)=U(x1,x2,…,xM)+K(p1,p2,…,pM),

(1)

則，動力學系統可描述為

(2)

式(2)就是哈密頓方程，在動力學中起非常重要的作用,可以看出

這表明哈密頓量是一個常量E，稱為總能量.很顯然，哈密頓系統是一個能量守恒系統.

下面介紹哈密頓動力學的計算方法.因為一個函數的微分可以近似等于函數的變化量，則

xi(t+Δt)?xi(t)+Δt·dxi(t)/dt,pi(t+Δt)?pi(t)+Δt·dpi(t)/dt,

將(2)式代入，可得

(3)

(4)

(5)

(6)

優化的目的是尋找最優參數使得代價函數的值最小.在優化過程中M個變量可以看作是哈密頓動力學中的M個位置x1,x2,…,xM.用于優化的動能K通常表示為

(7)

此外，位置變量x1,x2,…,xM與{E-U(x1,x2,…,xM)}(M/2γ)-1成正比，其中，γ是一個正的常數因子，E是總能量.(7)式表明，當0<γ≤1時，找到代價函數較小值的可能性大[3].

在尋找最優值的過程中，通過逐漸增加動量衰減量，可將哈密頓算法進行擴展，即在(6)式中插入一個動量衰減量

(8)

其中，A0是控制動量衰減量的一個參數，n是迭代次數.因此，動量p隨著迭代次數的增加成比例的衰減.通過對動量的衰減，可以限制在一個較小的范圍內尋找到局部最小值.

2 將哈密頓算法應用于自適應波束形成技術

2.1 ESPAR天線及其信號模型

ESPAR天線是智能天線中的一種，通過電抗加載來控制方向圖主瓣指向，又稱為電控無源陣列天線.該天線利用各陣元之間的耦合實現空間濾波，簡化了RF電路.ESPAR天線為一個7單元λ/4單極陣子的六邊形陣，其中只有中心陣元是有源陣子，其他6個陣元均為無源陣子，分別下接一個可變電阻xm，對稱分布在以中心陣元為圓心、半徑為λ/4的圓周上.加載在每個無源陣子上的電抗值與各自的長度相對應，無源振子成為反射器還是引向器,取決于電抗值的正負.如果加載負的電抗值，陣元表現為較短的單極天線(引向器)，反之，陣元表現為較長的單極天線(反射器)[4].智能天線的作用原理就是通過一種自適應算法改變每個陣元下可變電阻的阻值，從而改變天線的方向圖，形成對準目標的主波束和對準干擾的零點.

給定RF電流向量w=Vs(Z+X-1)μ0，其中，Vs是一常量，μ0=(1,0,…,0)T.對角矩陣X=diag(Z0,jx1,…,jxM)為電抗矩陣，Z=(zkl)(M+1)×(M+1)為阻抗矩陣，表示元素k和l之間的互阻抗(0≤k,l≤M).w、y(t)是電抗向量X的非線性函數[5].這就說明，ESPAR天線的自適應波束形成需要優化算法，例如哈密頓算法.

引入哈密頓算法，M維參數被視為M個瞬時位置，將天線輸出信號相對于參考信號的均方誤差作為代價函數.優化的目的是尋找一個最佳參數，使代價函數的值最小.將天線輸出信號相對于參考信號的均方誤差作為代價函數，經過多次迭代，找到代價函數的最小值.

2.2 基于哈密頓算法的自適應波束形成技術

采用哈密頓算法，把M維變量的優化問題轉換成了M個質子的動力學問題，經過多次迭代，找到代價函數的最小值.波束形成自適應算法目的是得到最優的電抗向量值，此時代價函數是最小的,這里的代價函數相當于哈密頓動力學中的勢能，能夠避免局部最小值的出現，且容易找到代價函數的全局最小值.

哈密頓方程應用于ESPAR天線的波束形成技術中，選用代價函數

(9)

U是輸出y(t)相對于參考信號r(t)的均方誤差(NMSE),其中，

3 仿真及分析

圖1 陣列天線方向

選用7元(M=6)ESPAR天線，信號采用BPSK調制方式，SNR=20 dB，干擾信號的功率與期望信號相同.電抗xi(i=1,2,…,6)的初值為0.動量pi(i=1,2,…,6)與給定電抗的代價函數的值成正比，數據塊大小P=50.仿真中，訓練序列的符號數目為P(M+1)N=50×(6+1)×5 000.

首先考慮在70 °和320 °方向有兩路信號的情況，由(5)和(8)式計算，經過N=5 000次迭代之后，找到了NMSE的最小圖值，即對應的電抗向量X.主波束指向期望信號70 °方向，零陷指向干擾信號320 °方向，如圖1所示，得到SIR為34 dB的輸出信號.結果表明：帶有動量衰減的HA形成的零陷要比沒有動量衰減的HA或GBA形成的零陷深.

其次，觀察仿真中x1～x6的變化軌跡，如圖2所示.采用帶有動量衰減的HA，其初始值和最優值分別用正方形和圓形標記.由于70 °方向為期望信號的波達方向，320 °方向為干擾信號的波達方向，所以2號和3號陣元作用是引向器，應加載負的電抗值，從而形成指向期望信號方向的主波束.5號和6號陣元作用是反射器，應加載正的電抗值.在圖2中，可以看出，電抗x2和x3變化軌跡分布在負的區域，而x5和x6分布在正的區域.與不帶動量衰減量的HA算法相比(見圖3)，帶有動量衰減量的HA被限制在一個更小的范圍.這就意味著，帶有動量衰減的HA的搜索效率更高.

圖2 迭代過程中電抗的變化軌跡(動量衰減HA)and Δ(GBA)

圖3 迭代過程中電抗的變化軌跡 (不帶動量衰減HA)and Δ(GBA)

圖4 輸出信干比高于已知信干比的概率

圖4給出實際輸出的信號干擾比(SIR)Z超出給定值(橫坐標)z的概率Pr(Z>z).在仿真時，期望信號和干擾信號均勻地、隨機地分布在0～360 °范圍內，但是要有30 °的角度間隔.統計時，共用到10 000對波達方向.仿真結果表明：帶有動量衰減的HA算法的SIR至少能夠輸出高于20 dB的已知SIR的概率為99%.與不帶動量衰減的HA和GBA相比，高出6 dB的增益.

4 結論

在ESPAR天線的波束形成過程中，在哈密頓算法中引入動量衰減.隨著搜索的進行，動量逐漸減弱.在整個過程的最初階段，衰減較弱，搜索在一個較大范圍內進行，而在搜索快結束時，衰減變大以保證搜索在較小范圍內進行，這為尋求波束形成的最優解提供了更大的可能性[7].仿真結果表明,采用HA算法能夠靈活地駕馭陣列方向圖的主波束和零陷，采用帶有動量衰減的HA算法，可使得搜索限制在一個高搜索概率的良好范圍.與不帶動量衰減的HA和GBA相比，帶有動量衰減的HA算法可獲得高出6 dB的增益，且能夠形成更高增益的主波束，在干擾方向形成較深的零陷.

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