帶干擾的多險種二項風險模型的破產概率

劉 超， 王永茂， 顏 玲， 吳琳琳， 王怡菲

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

經典風險模型及其推廣模型[1-2]均描述的是單一險種風險過程.但在實際中,由于保險公司業務種類的日益多元化,經典的風險模型已經不能很好地描述現實過程.因此,討論多險種風險模型更具實際意義.

文獻[3]將保單到達過程進行了推廣，討論了廣義復合二項風險模型下的生存概率；文獻[4-5]討論了雙險種風險模型的破產概率，文獻[6]則在其基礎上討論了帶干擾的風險模型的破產概率.為了更好描述保險公司業務種類的多元化，本文研究了多險種的風險模型.

1 模型建立

設

(1)

其中,U(t)為盈余過程，u≥0為初始資金，τ≥0為投資利率，ξ≥0為通貨膨脹率，{S(t),t≥0}表示保險公司在時刻t的盈利部分，稱為盈利過程.這里所用到的隨機變量都定義在完備概率空間(Ω,F,P),t≥0上.

1){Mi(t),t≥0}，i=1,…，n,表示第i個險種在時間(0,t)內收取的保費次數，它是以pi，i=1,…,n為參數的二項隨機序列，Mi(0)=0，i=1,…,n，并且相互獨立.

2){Nj(t),t≥0},j=1,…,n表示第j個險種在時間(0,t)內索賠的次數，它是以μj，j=1,…,n為參數的二項隨機序列，Nj(0)=0，j=1,…,n，并且相互獨立.

T=min{t|t≥0,U(t)<0}，表示破產發生的時刻，最終破產概率有Ψ(u)=p{T<∞|U(0)=u}.

模型(1)包括了一些學者討論的情形.

當n=1時，模型(1)為帶干擾的單險種風險模型，即

當n=2時，模型(1)為帶干擾的雙險種風險模型，即

2 盈利過程{S(t),t≥0}的性質

性質1{S(t),t≥0}具有平穩獨立的增量.

S(ti)-S(ti-1)=[A1(ti)-A1(ti-1)]-[A2(ti)-A2(ti-1)]+a[W(ti)-W(ti-1)],

由于A1(ti)-A1(ti-1),A2(ti)-A2(ti-1),W(ti)-W(ti-1)，i=1,…,n,是相互獨立的，所以盈利過程{S(t),t≥0}具有獨立的增量.又因為

S(t+j)-S(t)=[A1(t+j)-A1(t)]-[A2(t+j)-A2(t)]+a[W(t+j)-W(t)]

對一切t≥0,A1(t+j)-A1(t),A2(t+j)-A2(t),W(t+j)-W(t)分別具有相同的分布，所以對一切t≥0,S(t+j)-S(t)也具有相同的分布.即{S(t),t≥0}具有平穩的增量.因此盈余過程{S(t),t≥0}具有平穩獨立的增量.

性質2

又因為隨機過程{Mi(t),t≥0},i=1,…,n,{Nj(t),t≥0},j=1,…,n，{W(t),t≥0}相互獨立,

其中qi=1-pi,μj=1-σj,i,j=1,…,n.

3 破產概率

定理1存在函數g(r)使得E[e-rS(t)]=etg(r).

其中MYi(-r)=E[e-rYi]為險種i保費收入的矩母函數，MXj(r)=E[erXj]為險種j理賠額的矩母函數.

定理2方程g(r)存在唯一正根r=R，稱R為調節系數.

證明因為保費和理賠額相互獨立，且二階矩存在.所以

有

故曲線g(r)是下凸的.方程至多有兩個解，顯然g(0)=0,r=0是平凡解，又因為g′(0)<0，且當r→∞時，g(r)→+∞，因此存在唯一R∈(0,+∞)，使g(R)=0，即方程g(r)=0在r>0時有唯一正根R.

定理3在由(1)式建立的風險模型{U(t);t≥0}下，最終破產概率為

證明對于任意的t>0,r>0有

E[e-rU(t)]=E[e-rU(t)|T≤t]p{T≤t}+E[e-rU(t)|T>t]p{T>t}

,

(2)

由于E[e-rU(t)]=E[e-ru(1+τ-ξ)]E[e-rS(t)]=e-ru(1+τ-ξ)etg(r),當r=R時，g(R)=0,所以E[e-RU(t)]=e-Ru(1+τ-ξ),代入(2)得

e-Ru(1+τ-ξ)=E[e-RU(t)|T≤t]p{T≤t}+E[e-RU(t)|T>t]p{T>t}.

當T≤t時，令

因此

事實上，

令

因ω>0，在t充分大時，Q(t)>0.

因此

E{ exp[-RU(T)]|T>t}p{T>t}

=E{exp[-RU(T)]|T>t,0≤U(t)≤Q(t)}p{T>t,0≤U(t)≤Q(t)}+
E{exp[-RU(T)]|T>t,U(t)>Q(t)}p{T>t,U(t)>Q(t)}

≤p{0≤U(t)≤Q(t)}+exp(-RQ(t)),

由契比雪夫不等式得

推論在(1)式風險模型{U(t),t≥0}下，最終破產概率Ψ(u)滿足Lundberg不等式

Ψ(u)≤e-Ru(1+τ-ξ),

此式給出了最終破產概率的上界.

[1] 謝志剛，韓天雄.風險理論與壽險精算[M].天津：南開大學出版社,2000:101-189.

[2] Gerber H U.An Introduction to Mathematical Risk Theory[M].Philadelphia:Homewood,1979.

[3] 龔日朝，劉永清．廣義復合二項風險模型下的生存概率[J]．湘潭大學學報：自然科學版，2001,23(2)：15-19.

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[5] 劉東海，劉再明.雙險種二項風險模型的破產概率[J].華東交通大學學報，2005，22(5)：162-166.

[6] 張相虎，趙明清.帶干擾的雙二項風險模型的破產概率[J].經濟數學，2005，22(4)：351-355.