基于Arnold變換和混沌映射的圖像加密方法

邢順來，李志斌，周華成

（1.華東師范大學 計算機系，上海 200241；2.濟南大學 數學科學學院，山東 濟南 250022；3.東華大學 應用數學系，上海 200051）

基于Arnold變換和混沌映射的圖像加密方法

邢順來1，2，李志斌1，周華成3

（1.華東師范大學 計算機系，上海 200241；2.濟南大學 數學科學學院，山東 濟南 250022；3.東華大學 應用數學系，上海 200051）

在研究現有的圖像加密算法及混沌序列的相關知識的基礎上，提出一種基于Arnold變換和混沌映射的圖像加密方法。通過二維Arnold變換改變圖像像素的位置，繼而用三維Arnold變換改變像素的值并引入混沌映射再次改變像素的值對一幅真彩色圖像加密；再結合圖像特征，把圖像分割成幾個區域，對每一個區域用同樣的方法實現，從而實現圖像加密的可靠性。實驗證明了圖像加密解密的有效性，表明該方法加密、解密效果更好。

圖像加密；混沌映射；Arnold變換

伴隨著數字技術和互聯網的飛速發展，數字產品的安全問題日益突出。目前針對灰度圖像的置亂加密算法研究已經取得了較大的進展。本文在研究現有的圖像加密算法及混沌序列的相關知識的基礎上 ，提出一種針對彩色圖像的混沌加密算法。

1.預備知識

1.1 混沌映射

一般說，如果一個接近實際而沒有內在隨機性的模型仍然具有貌似隨機的行為，就可以稱這個真實物理系統是混沌的。一個隨時間確定性變化或具有微弱隨機性的變化系統，稱為動力系統，它的狀態可由一個或幾個變量數值確定。而一些動力系統中，兩個幾乎完全一致的狀態經過充分長時間后會變得毫無一致，恰如從長序列中隨機選取的兩個狀態那樣，這種系統被稱為敏感地依賴于初始條件。混沌現象是非常普遍的，最簡單的一個是一維模型logistic方程xn+1=λxn（1-xn）。

混沌系統對初始值和系統參數非常敏感，其產生的混沌序列具有非周期性、類隨機性、可精確再生以及難以預測等特征。

1.2 Arnold變換及其周期性

定義1.2.1 （二維Arnold）變換一個N×N的數字矩陣二維Arnold變換定義為

其中x，y∈｛0，1，2，…N-1｝表示變換前的矩陣元素的位置；x′，y′表示變換之后的矩陣元素位置。

定義1.2.2 對于給定的自然數N＞2，Arnold變換的周期mN是使下式成立的最小自然數n：

下面給出計算二維Arnold變換周期的算法：

稱f1=1，f2=1，fn+2=fn+1+fn為Fibonacci序列。

定理1.2.1 n次Arnold變換矩陣An，成立如下公式：

定理1.2.2 Arnold變換的周期mN等于Fibonacci

序列中第一次出現f2n-1=1，f2n=0（modN）時的n。

定義1.2.3 三維Arnold變換

其中x，y，z∈｛0，1，2，…N-1｝，N，為給定的自然數。

當N取值256時，可以應用到真彩色圖像加密。這直接改變圖像像素的值，和二維Arnold變換僅改變像素位置不同，不改變像素位置，也不改變圖像的直方圖，類似的有如下更為一般的變換定義。

定義1.2.4 對給定的N級數字矩陣P稱變換

x1，x2…xn∈｛0，1，2，…N-1｝為N階線性變換，且關于P的周期為mN，指mN是使得圖像P經一系列變換后恢復到P的最少次數。

定理1.2.3 若 A與N互素，則以上變換有周期性。這里A是變換矩陣，A是矩陣A的行列式。

定義1.2.5 對于給定的正整數N，下列變換稱為n階Arnold變換：

定理1.1.3 n階Arnold變換具有周期性。

1.3 Arnold反變換及其周期性

Arnold反變換和Arnold變換是相對的。可以直接用Arnold反變換應用到圖像加密，同時也可以把Arnold反變換應用到圖像解密中。

定義1.3.1 一個N×N的數字矩陣二維Arnold反變換定義為

其中x，y∈｛0，1，2，…N-1｝表示變換前的矩陣元素的位置；x′，y′表示變換之后的矩陣元素位置。

定義1.3.2 對于給定的自然數N＞2，Arnold變換的周期mN是使下式成立的最小自然數n。

定理1.3.1 二維Arnold變換與二維Arnold反變換具有相同的周期.

證明 設

因為有AB＝BA＝I，及AnN＝I（modN），有BnN＝I（modN），則mN便是B的周期，否則存在n＜mN，使得An＝I（modN）得出與mN為A的周期矛盾。

定理1.3.2 對于給定的正整數N，下列變換稱為n階Arnold變換的反變換：

定理1.2.3 n維Arnold變換與n維Arnold反變換具有相同的周期.

Arnold反變換和Arnold變換同樣重要，都可以作為圖像加密工具，也可以作為解密手段。

2.圖像加密與解密

2.1 基于一類Arnold變換圖像加密與解密

采用單純Arnold變換對圖像置亂處理時，隨著迭代次數的增加，圖像逐漸趨于混亂，但經過一定的次數后，又回到原圖。這為圖像解密帶來了方便，但攻擊者可以利用其置亂變換的周期恢復圖像，也可以利用其周期性來進行窮舉攻擊，攻擊者只要繼續進行次數不多的有限次置亂處理，就可以解密。因此用單純的Arnold變換來對圖像加密會因為其周期性而使得其安全性較低。

2.1.1 降低周期性安全隱患的實現方法

若將圖像分成多個子塊，不同子塊采用不同的參數進行置亂，由于周期不同，整個圖像的置亂就不再呈現原來的周期現象了。如果將圖像分成兩次置亂，第一次先對整個圖像置亂，在此基礎上對圖像進行分塊到若干個子塊，再對不同子塊用不同參數進行第二次置亂加密，最終置亂加密后的圖像就無法用其原來的周期來恢復出原來的圖像，從而降低了原先的周期性帶來的安全性問題。

設欲加密的圖像為G＝（gij）N×N，加密步驟如下：

（1）輸入密鑰K1，用Arnold變換對圖像進行置亂加密，得到密圖G1；

（2）將置亂后的圖像G1分成大小相同的m個子塊，子塊通過密鑰K2控制。在分塊時要注意保證每個子塊為方塊；

（3）將子塊加密后的圖像再合成在一起得到最終的密圖E。

解密方法：由前面知道Arnold變換具有周期性且有反變換，從而有2種最基本的解密方法。

2.2 基于兩類Arnold變換圖像加密與解密

兩類Arnold變換加密真彩色圖像，即對真彩色圖像二維Arnold變換與三維Arnold變換同時加密方案。

首先考慮單獨把三維Arnold變換應用到真彩色圖像中。在彩色空間中，將點（x，y）處像素的RGB顏色分量r，g，b進行相應的變換到點（x，y）處像素的另一組RGB顏色分量r′，g′，b′，到達圖像置亂加密的目的。即采用三維Arnold變換

演示如下：（讀入的圖像大小為300×390）

圖1 三維Arnold變換加密解密圖像實驗圖

其次考慮混合加密算法步驟如下：

（1）讀入圖像，若圖像不是方陣，先對圖像處理為方陣；

（2）用指定的密鑰K1，對圖像二維Arnold置亂加密變換，此時并不改變圖像的像素，只改變其位置分布；

（3）用指定的密鑰K2，對第二步中得到的密圖再次用三維Arnold變換加密，此時并不改變像素位置，只改變像素的值。

解密步驟是加密的逆過程。

圖2 混合加密算法實驗圖

提高置亂解密效率的方法步驟如下：

（1）求出待恢復圖像的Arnold變換周期T，

（2）對置亂次數i與周期一半比較，若i＜T／2則轉4；

（3）利用周期性對圖像進行置亂解密，結束；

（4）按照Arnold反變換方法進行置亂解密，結束。

置亂解密時間跟多種因素有關，如圖像大小、程序設計復雜度、計算機工作狀況等。當前Arnold反變換是一種快速有效的方法。

2.3 基于混沌映射與Arnold變換圖像加密與解密

混沌映射結合其它各種工具用來對圖像加密已有學者提出算法并用于實踐。

2.3.1 單一混沌映射加密技術

加密算法：

（1）打開文件，讀入圖像數據G；

（2）根據迭代Logistic方程xn+1=λxn（1-xn）及密鑰x0生成混沌序列｛Xi｝，有｛Xi｝映射到［0，255］成為序列｛Yi｝并生成矩陣P；

（3）通過異或計算E=G⊕P，得到密文E。

解密算法：

（1）打開文件，讀入加密圖像的密文E；

（2）根據迭代Logistic方程xn+1=λxn（1-xn）及密鑰x0生成混沌序列｛Xi｝，由｛Xi｝映射到［0，255］成為序列｛Yi｝并生成矩陣P；

（3）通過異或計算G=E⊕P，得到圖像G。

圖3 檢驗混沌映射加密圖像對初值的敏感性實驗圖

單從加密效果，可以從圖中看出效果不是很好，但從解密效果上看混沌對初值還是敏感性的，密鑰僅相差一位10-8，但解密后圖像依然是保密的。

改進加密算法：

（1）打開文件，讀入圖像數據G；

（2）根據迭代Logistic方程xn+1=λxn（1-xn）及雙密鑰x1，y1生成混沌序列｛Xi｝及｛Yi｝，由｛Xi｝及｛Yi｝映射到［0，255］成為序列｛X′i｝及｛Y′i｝并生成矩陣P′和P″；

（3）通過異或運算，在奇數位與P′奇數位異或，偶數位與P″異或，得到密文E。

改進解密算法：

（1）打開文件，讀入加密圖像的密文E；

（2）根據迭代Logistic方程xn+1=λxn（1-xn）及雙密鑰x1，y1生成混沌序列｛Xi｝及｛Yi｝，由｛Xi｝及｛Yi｝映射到［0，255］成為序列｛Xi｝及｛Yi｝并生成矩陣P′和P″；

（3）通過異或運算，在奇數位與P′奇數位異或，偶數位與P″異或，得到明文，從而得到圖像G。

圖4 檢驗改進混沌映射加密實驗圖

加密效果，可以從圖中看出效果比改進前要好，但仍然不是很好，從解密效果上看混沌對初值同樣是敏感性的，密鑰僅相差一位10-8，然而解密后圖像依然是保密的。

2.3.2 混沌映射與Arnold變換混合加密

設計的加密方案基于兩個步驟。首先利用二維Arnold變換打亂圖像像素的位置，再利用混三維Arnold變換和混沌映射對置亂加密后的圖像再次進行加密。

加密步驟：

（1）圖像數據利用二維Arnold變換進行置亂；

（2）對置亂的圖像進行三維Arnold變換和混沌加密。

解密步驟：

（1）對混合加密的圖像進行三維Arnold變換混沌解密；

（2）利用二維Arnold反變換或周期性解密。

混合加密的安全性分析：

（1）線性攻擊屬于對分組加密的攻擊法，對混沌加密攻擊是無效的；

（2）統計分析攻擊的防范：因為混沌密文0，1的分布概率是完全不確定的，明文的統計性完全擴散了。

圖5 基于混沌與二維Arnold變換及三維Arnold加密解密實驗圖

3.數字圖像加密效果分析

數字圖像加密技術不僅用于圖像保密，也是圖像信息隱藏、信息分存等基礎性工作，因此加密算法的優劣直接影響到其他處理的效果，目前評價置亂加密算法的效果主要考慮以下幾個方面：

1.置亂的分布性。數字圖像經置亂加密處理后，要從統計上和視覺上都服從均勻分布的白噪音特性，好的置亂加密算法應該有均勻的分布性，這是置亂加密基本的要求，但難達到。

2.計算的復雜性。由于數字圖像的數據量十分龐大，計算量太大的置亂加密算法很不實用，同時考慮到圖像在一般在網絡上傳輸，其實時性也要求考慮算法的計算量問題。因此置亂算法的復雜性越低越好。

3.算法的泛化性。置亂加密算法應該適用于不同尺寸的圖像，不同格式的圖像。高泛化性是評價置亂加密算法的一個不可缺少的指標。

4.抗干擾性。數字圖像經過網絡傳輸后，對產生的誤碼和部分缺失應該有較強的魯棒性，一般來說，好的置亂加密算法，其抗干擾的能力也是較強的。

5.算法的恢復性。即算法應該有置亂的逆過程——解密算法，且應容易求得。目前的解密算法一般是通過計算周期性或反變換求得，所以要求置亂加密的周期越小越好。

置亂度定義：

（1）統計相鄰像素之間的灰度差；

（2）統計統一灰度差的像素數量；

（3）建立灰度差分直方圖，橫坐標為各級灰度差，縱坐標為對應灰度差的像素數量。

依據直方圖，定義置亂度，計算公式為

其中pi為各級灰度差的分布概率。各個分布概率pi接近相等時，置亂度SH最大，此時的置亂效果最好。該置度計算簡單，測試結果和人的視覺效果較為一致。

單一Arnold變換、單一的混沌映射、Arnold變換與混沌混合加密的置亂度分別為14.83、21.31、21.25。再從主觀直覺上觀察圖6，原始圖像經過不同方式加密后的圖像，從某種程度上確實也能反映這樣定義有一定的合理性。

圖6 檢驗置亂度實驗圖

4.結語

用混沌映射、Arnold變換及Arnold反變換都可以隱藏圖像信息，都有一個弱點，單獨使用一種方法加密圖像都容易被攻擊者攻擊而獲取圖像信息。本文中把二維Arnold變換和三維Arnold變換及混沌映射結合起來，并適時的把圖像分割成多個方形區域，再對這些分割后的區域以同樣的方法加密圖像，從而使圖像信息的安全性得以較好的提高，而解密過程正好和加密過程相反。

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TP309

A

1008—3340（2012）01—0042—04

2011-12-26

國家自然科學基金（編號：60773119）。

邢順來，講師，碩士，研究方向為圖像處理。