巧用分類討論法,妙解含絕對值的不等式

分類討論法常用來求解一類含絕對值的不等式，然而傳統的分類討論應用面不廣，同時比較繁瑣，也不易確定答案. 筆者在教學實踐中，通過深入研究，對傳統的分類討論法進行了改進，將分類討論的情形轉化為不等式組進行求解.下面結合例題向大家作簡單介紹.

例１ 求下列不等式的解集：

（１）|2x + 1| > 3； （２）-4|3x - 2| > -16．

解 （１）依題意，有２ｘ ＋ １ ≥ ０，２ｘ ＋ １ ＞ ３或２ｘ ＋ １ ＜ ０，－（２ｘ ＋ １） ＞ ３，

將不等號統一向右，有0 ≤ 2x + 1，3 < 2x + 1或2x + 1 < 0，2x + 1< -3，

分別依“左大右小”，有3 < 2x + 1或2x + 1 < -3，

從而解得x > 1 或 x < -2，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜x > 1或x < -2｝.

（２）原不等式可變形為|3x - 2| < 4，

則有3ｘ - 2 ≥ ０，3ｘ - 2 < 4或3ｘ - 2 ＜ ０，－（3ｘ - 2） < 4，

將不等號統一向右，有0 ≤ 3x - 2，3ｘ - 2 < 4或3ｘ - 2 ＜ ０，－4 < 3ｘ - 2，

分別依“左大右小”，有0 ≤ 3x - 2 < 4或－4 < 3ｘ - 2 < 0，

即-4 < 3x - 2 < 4，有- < x < 2，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜- < x < 2｝.

點評 對于含絕對值的不等式｜ｘ｜＃ａ（a > 0，“＃”代表“>”，“≥”，“<”或“≤”），最大的關鍵是去絕對值符號，依據絕對值的性質：ｘ ≥ ０時，｜ｘ｜ ＝ ｘ；而ｘ ＜ ０時，｜ｘ｜ ＝ -ｘ，對它進行分類討論，此時含絕對值的不等式問題就轉化為不等式組的問題，然后統一不等式組中的所有不等號開口向右，再依“左大右小”確定不等式組的解集，此時就轉化為求不等式問題了，最后解出不等式的解集即可.

例２ 求下列不等式的解集：

（１）1 < |2x - 3| ≤ 7； （２）9 ≤ 3|-2x + 5| < 21.

解 （１）依題意，有2x - 3≥0，1 < 2ｘ - 3 ≤ 7或2ｘ - 3 ＜ ０，１ ＜ －（２ｘ － ３） ≤ 7，

即0 ≤ 2x - 3，1 < 2ｘ - 3 ≤ 7或2ｘ - 3 ＜ ０，-7 ≤ ２ｘ － ３ < -1，

分別依“左大右小”，有1 < 2x - 3 ≤ 7或-7 ≤ ２ｘ － ３ < -1，

從而有2 < x ≤ 5或-2 ≤ x < 1，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜2 < x ≤ 5或-2 ≤ x < 1｝.

（２）原不等式可變形為3 ≤ |-2x + 5| < 7，

從而有-2x + 5 ≥ 0，3 ≤ -2ｘ + 5 < 7或-2ｘ + 5 ＜ ０，3 ≤ －（-２ｘ + 5） < 7，

即0 ≤ -2x + 5，3 ≤ -2x + 5 < 7或-2ｘ + 5 ＜ ０，-7 < -2x + 5≤ -3，

分別依“左大右小”，有3 ≤ -2x + 5 < 7或-7 < -2x + 5 ≤ -3，

從而有1 ≥ x > -1或6 > x ≥ 4，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜1 ≥ x > -1或6 > x ≥ 4｝.

點評 對于這類題型，首先找出絕對值的零點，然后分兩部分進行討論，從而轉化為不等式組的問題，并統一不等號的開口向右，后依照“左大右小”的原則確定不等式，最后解出不等式，并檢查式地確定解集.

例３ 求下列不等式的解集：

（１）|x - 3| + |x + 1| > 5； （２）5 < |x - 1| + 3|x + 2|≤ 8.

解 （１）經分析易知，x = -1或x = 3時可使某一絕對值等于零，現分類討論有：

x < -1，－（ｘ － ３） － （ｘ ＋ １） > 5或-1 ≤ ｘ ≤ 3，－（ｘ － ３） ＋ （ｘ ＋ １） ＞ 5或

x > 3，ｘ － ３ ＋ （ｘ ＋ １） > 5，

即ｘ＜ -1，-2x + 2 > 5或-1 ≤ ｘ ≤ 3，4 > 5或x > 3，2x - 2 > 5，

從而有ｘ ＜ -1，x < -或-1 ≤ ｘ ≤3，4 > 5或x > 3，x > ，

分別依“左大右小”，有ｘ ＜ －或無解或x > ，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜x < －或x > ｝.

（２）經分析易知，ｘ = -2或x = 1時可使某一絕對值等于零，現分類討論有：

x < -2，5 ＜ －（ｘ － １） － ３（ｘ ＋ ２） ≤ ８或-2 ≤ ｘ ≤ 1，5 < －（ｘ － 1） ＋ 3（ｘ ＋ 2） ≤ ８或x > 1，5 < ｘ － 1 ＋ 3（ｘ ＋ 2） ≤ ８，

解得ｘ ＜ -2，- ≤ x < -或-2 ≤ ｘ ≤1，-1 < x ≤ 或ｘ > 1，0 < x ≤ ，

分別依“左大右小”，有- ≤ x < -或-1 < x ≤ 或無解，

所以原不等式的解集為｛ｘ｜- ≤ x < -或-1 < x ≤ ｝.

點評 對于這類題型，首先要找出所有絕對值的ｎ個零點，并按從小到大的順利進行排序，然后分（ｎ ＋ １）個情形進行討論，得到（ｎ ＋ １）個不等式組，并解出每一個不等式的解，并統一不等號開口向右，接下來分別依“左大右小”的原則確定各不等式組的解，最后檢查式地確定解集.

綜上，對于含有絕對值的不等式，可以利用分類討論法進行求解，基本思想為：含絕對值不等式問題→不等式組問題→不等式問題.基本步驟為：（1）確定ｎ個絕對值的零點，并按從小到大的順序進行排列；（2）分（ｎ ＋ １）種情形進行討論，得到（ｎ ＋ １）個不等式組；（3）確定不等式組的解；（4）檢查式地確定含絕對值不等式的解集. 利用這種分類討論進行求解含絕對值的不等式，操作簡單，討論全面，求解清晰，較傳統的分類討論方法要直觀許多，且易于得出正確結果.