分類討論思想在三角形中的應用

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答. 進入初中數學學習后，會出現越來越多的涉及分類討論的題型，由于對知識的全面性，思維的邏輯性、條理性和縝密性要求較高，學生解題往往出現漏解、錯解情況. 在筆者的教學實踐中發(fā)現，導致這些問題的主要原因是學生知識掌握的不牢靠、不全面，沒有抓住與題相關的知識要點解題. 下面我結合自己的教學實踐，用具體的例子來談談分類討論思想在三角形中的應用.

一、當所示內容對象不明確時，須進行分類討論

例1 如圖1，等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為１２厘米和２１厘米兩部分，求其底邊長.

對于題目中周長的兩部分ＡＢ ＋ ＡＤ和ＢＣ ＋ ＣＤ不能確定其長是１２還是２１，故需要分類討論：

①AB + AD = 12，BC + CD = 21或②BC + CD = 12，AB + AD = 21.

二、等腰三角形由于其腰長與底邊長、頂角與底角的區(qū)別，往往需分類討論

例2 等腰三角形的周長為１２，一邊長為５，求其另兩邊長.

此題中一邊長為５沒有確定是等腰三角形的腰長還是底邊長，需分類討論：①當腰長為５時，則另兩邊長分別為５和２；②當底邊長為５時，則另兩邊長分別為３．５和３．５．當然，此題最后還需注意檢驗三角形的三邊是否滿足兩邊之和大于第三邊.

例3 等腰三角形的一個角為４０°，求其另外兩個角的度數.

此題中一個角沒有確定是頂角還是底角，需分類討論：①當頂角為４０°時，則另兩個角均為底角，都為７０°；②當底角為４０°時，則另兩個角一個為頂角１００°，一個為底角４０°.

三、三角形高的位置可能在三角形內、三角形上、三角形外，需進行分類討論

例4 在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２０，ＡＣ ＝ １５，ＢＣ邊上的高ＡＤ等于１２，求邊ＢＣ的長.

在本題中三角形的形狀不確定，除了直角三角形不符合題意外，此三角形可為銳角三角形或鈍角三角形，由此ＢＣ邊上的高可在三角形外或三角形內，應分兩種情形解題，如圖2和圖3.

四、有些題一次分類討論不能解決問題，在分類的每一種情況中還可能再次出現分類討論

例5 在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ４０°，求∠Ｂ的度數.

此題∠Ａ不能確定是等腰三角形的頂角還是底角，需進行分類討論：當∠Ａ是頂角，∠Ｂ必為底角，為７０°；當∠Ａ是底角時，∠Ｂ在等腰三角形中又有可能為頂角或底角，故又需進行分類討論，得∠Ｂ為４０°或１００°，共三種結果.

例6 已知ＡＤ為等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，求這個三角形的各內角的度數.

由題可分析，等腰三角形的形狀不確定，故首先要討論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，在這三種情況中直角三角形不符合題意，故在另兩種情況下解題：（１）銳角三角形ＡＢＣ中，由于ＡＤ為等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，能確定Ａ為底角頂點，但Ｂ，Ｃ哪個是底角頂點無法確定，又需再次進行分類討論（如圖4，Ｂ為底角頂點，圖5中Ｂ為頂角頂點），在圖4中，若∠ＤＡＢ ＝ ６０°，則∠Ｂ ＝ ３０°，不符合銳角三角形的前提，應舍去；（２）鈍角三角形，同于（１），也須再次討論Ｂ，Ｃ哪個是底角頂點，兩種情況均符合題意（如圖6，7）.

分類討論思想是解決數學問題常用的一種方法，對學生的能力要求較高，是一個難點. 教師教學中應有目的、有計劃地對學生滲透和強調，加強這方面題型的訓練，強化、鞏固知識點，讓學生逐漸產生分類討論的意識，提高分析問題、解決問題的能力.