淺談幾何問題的快速思維法

考場上，必須惜時如金，那如何使學生做題達到高速又高效呢？筆者結(jié)合自身學習和十幾年教學經(jīng)驗總結(jié)出一套自己的方法，自命為快速思維法，主要應對于幾何問題的解決，現(xiàn)具體分述如下.

一、善于總結(jié)規(guī)律

誠然，教科書中有許多的定理和規(guī)律，那是學生可以光明正大應用它們證明和求解的依據(jù)，但有一些小規(guī)律若平時注意總結(jié)的話，在關鍵時刻一樣可以“小材大用”. 如學習互余概念時，我給學生總結(jié)出：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個小直角三角形中有兩對等角，后來，隨著知識的增加，還是由這個圖形，又得出：直角邊的積等于斜邊與斜邊上的高的積. 這是兩個很簡單的小規(guī)律，既可以在做填空、選擇題時省時，又可以在很多大題中發(fā)揮大作用. 又如在學習三角形的角平分線時，我給學生總結(jié)出：三角形的兩條角平分線的夾角等于第三個角的一半與９０°的和，這為計算角度提供了方便. 又如學習了三角形的內(nèi)切圓時，我給學生總結(jié)出：直角三角形的內(nèi)切圓半徑ｒ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） ＝ ，遇到求半徑時則可以直接應用. 再如學習正多邊形和圓時，得出：半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形和正六邊形的邊長之比為 ∶ ∶ １，邊心距之比為１ ∶ ∶ 等等，而這種小規(guī)律特別適用于應對填空、選擇這類小題目.

二、善于問題歸類

學好數(shù)學是需要大量做題的，但有些學生搞了半天題海戰(zhàn)術，效果卻不明顯. 縱然原因多種，但我認為其中一種就是不善于概括總結(jié). 如在初教“圓”這一章中“圓錐的側(cè)面展開圖”一節(jié)時，我以為就兩三個公式，即弧長公式和扇形的兩個面積公式的應用，應該挺好掌握，但學生在做練習冊中的幾道選擇題時就表現(xiàn)出了“不知所云”的迷茫，而我一一講完后歸納為：（1）求弧長；（2）求面積；（3）求圓心角；（4）求高；（5）求半徑，解決這些問題只需對公式靈活變式即可，學生立刻毛塞頓開. 又如學反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，我把它的題型概括為：（1）確定待定系數(shù)的取值范圍；（2）確定函數(shù)關系式；（3）求它與其他函數(shù)圖像的交點問題；（4）應用它的幾何意義求面積；（5）比較自變量或函數(shù)值的大小. 學生在學這一部分時因為思路清楚，掌握得又快又好. 總之，把遇到的問題歸類，可以簡化思維程序，提高解題效率. 當然不能生搬硬套題型，要掌握歸類與靈活相結(jié)合的原則.

三、善于明確概念

每個概念都有一定的內(nèi)涵和外延，如果把它的作用研究透徹了，見到這個名詞時往往就可以達到快速思維的目的. 如中點（或相當于中點的詞）的作用：（1）證明等線段；（2）構(gòu)造中線（中線還可以繼續(xù)構(gòu)造全等）；（3）構(gòu)造中位線（知平行關系和線段的２倍關系）. 又如角平分線的作用：（1）得等角；（2）構(gòu)造全等；（3）利用角平分線定理證得等線段. 平行四邊形的作用：（1）兩組對邊平行且相等；（2）兩組對角相等；（3）對角線互相平分；（4）周長等于鄰邊之和的２倍；（5）面積等于底與高的積；（6）是中心對稱圖形. 再如切線的作用：（1）知垂直；（2）知d = r；（3）由切線長定理知等線段等角等. 明了這些作用后，在題目的已知中見到這些名詞時就可以從它的作用出發(fā)快速得到解題思路.

四、善于分條審題

當前中考題目對閱讀能力的要求越來越高，這是素質(zhì)教育的一項內(nèi)容，也是新課程改革的方向，而運用快速思維法的一個對策就是準確找出已知中的關鍵詞句，把已知清晰地分成幾條，運用發(fā)散思維明確每一個條件的作用，再從結(jié)論出發(fā)分析，兩者相通則問題解決，若遇到困難，則重新審題.

五、善于培養(yǎng)幾何直覺

幾何問題的解決離不開靈感，靈感來得快則解決問題的時間會大大縮短，但這種感覺不會是空穴來風，任何有用的猜想都是建立在平時知識與經(jīng)驗的積累之上的. 所以我在平時的教學中特別注意培養(yǎng)學生的幾何直覺，方法就是平時多積累基本圖形、基本題型、基本輔助線、基本解決方法、基本數(shù)學思想等，這樣在見到陌生題目時依靠“蛛絲馬跡”即可揭開它的神秘面紗，分析問題、解決問題的速度才會提高.

六、善于深剖基本圖形

復雜圖形都是由簡單圖形組成的，所以要想解決復雜圖形的幾何問題，首先要把簡單圖形研究透徹. 如圓是幾何中的難點之一，關于它的定理既難又多，圖形與三角形、四邊形等綜合起來分析的難度大大增加，學生解題效率很低. 我把關于它的定理結(jié)合圖形總結(jié)出幾個基本圖形，

１. 垂徑定理：如圖１，半徑、弦心距與弦的一半構(gòu)成直角三角形，常與勾股定理結(jié)合求線段的長. 當然應用本圖也可證垂直、等線段、等弧、求角度.

２. 圓周角定理：如圖２，從本圖可以得等角、互補角.

３. 與切線有關的定理：如圖３，從本圖可以得垂直、全等、等線段、等角、等弧、互補角、２倍角等.

４. 圓錐側(cè)面展開圖：一個圓錐和一個扇形，聯(lián)系點：（1）圓錐的底面周長等于扇形的弧長；（2）圓錐的母線是扇形的半徑.

圖 １ 圖 2 圖 3

學生們把圖形研究透了，做題速度自然提高.

學無止境，教無定法. 但總體來說，我在教學中注意授人以漁，多教給學生如何練成“點石成金”的手指頭，能力提高了，快速思維的目的就達到了.