初中數(shù)學(xué)建模的困難及解決方法

【摘要】 數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程. 這里的實(shí)際現(xiàn)象包涵具體的自然現(xiàn)象，比如自由落體現(xiàn)象，也包括抽象的現(xiàn)象，比如顧客對(duì)某種商品所取的價(jià)值傾向. 這里的描述不但包括外在形態(tài)、內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測(cè)、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段. 本文從初中數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀出發(fā)，結(jié)合初中數(shù)學(xué)主要模型，提出初中數(shù)學(xué)建模的一些解決策略.

【關(guān)鍵詞】 建模；困難；核心之模；指導(dǎo)

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，課程目標(biāo)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷‘問(wèn)題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用’的基本過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展. ”而且高中階段的學(xué)習(xí)中也有很多問(wèn)題需要利用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，高考每年也出應(yīng)用題，中考也加強(qiáng)了應(yīng)用題的考查. 這些應(yīng)用題以數(shù)學(xué)建模為中心，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力. 但學(xué)生在這些題上的得分率往往很低，原因之一就是學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模能力和意識(shí). 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)建模教學(xué)、滲透建模思想是非常必要的，這樣能夠培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

一、初中數(shù)學(xué)有哪些“模”

初學(xué)數(shù)學(xué)建模與實(shí)際數(shù)學(xué)建模相比是建模的初級(jí)階段，一般來(lái)說(shuō)給定了較多的確定條件，循環(huán)的次數(shù)較少. 目的是培養(yǎng)中學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和初步掌握用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法. 初中階段的主要數(shù)學(xué)模型有：

１． 方程（組）模型

生活中存在大量的等量關(guān)系，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題和傳播問(wèn)題等可利用方程（組）模型，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式來(lái)解決.

2． 不等式（組）模型

初中數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系主要體現(xiàn)在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、生產(chǎn)決策和統(tǒng)籌安排等實(shí)際問(wèn)題，涉及此類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以考慮建立不等式（組）模型來(lái)解決.

3． 函數(shù)模型

當(dāng)涉及采取哪種收費(fèi)方式或如何獲得最大利潤(rùn)等決策性問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)建立函數(shù)模型，通過(guò)比較函數(shù)值的大小或二次函數(shù)求最值等函數(shù)知識(shí)來(lái)解決.

4． 直角三角形模型

在遇到測(cè)量高度、測(cè)量距離、航海、修建堤壩等應(yīng)用型問(wèn)題時(shí)，往往需要通過(guò)構(gòu)建直角三角形模型，利用直角三角形的邊角有關(guān)知識(shí)來(lái)分析解決問(wèn)題.

5． 幾何模型

在涉及形如三角形、四邊形和圓等幾何圖形上的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以構(gòu)建幾何圖形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，根據(jù)幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)和定理解決實(shí)際問(wèn)題.

二、初中數(shù)學(xué)“建模”教學(xué)的困難與現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)建模要通過(guò)調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問(wèn)題. 這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面. 而初中生與小學(xué)生相比，雖然知覺(jué)的有意性和目的性更加提高，認(rèn)知的精確性和概括性也進(jìn)一步發(fā)展起來(lái)，但思維還處于由形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡時(shí)期，社會(huì)經(jīng)驗(yàn)閱歷少，無(wú)法把實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)原理進(jìn)行聯(lián)系，有些實(shí)際問(wèn)題的術(shù)語(yǔ)看都看不懂，對(duì)于數(shù)學(xué)建模更是一張白紙. 同時(shí)，數(shù)學(xué)建模對(duì)于教師提出了高素養(yǎng)要求，需要老師在建模的過(guò)程中不斷地更換角色，適時(shí)引導(dǎo)，而且初中教學(xué)中“現(xiàn)成”的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容又很少，再加上我國(guó)數(shù)學(xué)建模研究起步較晚，數(shù)學(xué)建模的氛圍在初中尚不濃厚，初中建模教學(xué)成了一大難題.

三、初中數(shù)學(xué)建模的解決策略

1． 總攬教材全局，系統(tǒng)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)生建模能力的形成是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)方法和思想培養(yǎng)的一種綜合效果，日常教學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)形成建模能力起著奠基作用. 如果只學(xué)習(xí)應(yīng)用題建模，忽視系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和方法體系的建設(shè)，最終的效果只能是應(yīng)用題解題教學(xué)，并不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的全面提高. 因此，在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型知識(shí)，一定要在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和方法體系的基礎(chǔ)上進(jìn)行.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括. 數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，它貫穿知識(shí)的汲取、儲(chǔ)存、加工、運(yùn)用的全過(guò)程. 初中數(shù)學(xué)核心思想方法主要有：數(shù)形結(jié)合的思想、方程與函數(shù)的思想、分類(lèi)討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想、類(lèi)比的思想、數(shù)式通性的思想等. 同一數(shù)學(xué)知識(shí)可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，總攬教材全局，高屋建瓴，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，建立各知識(shí)點(diǎn)或章節(jié)之間的相互聯(lián)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律，系統(tǒng)歸納與概括出數(shù)學(xué)思想方法，確定數(shù)學(xué)知識(shí)與其思想方法之間的結(jié)合點(diǎn)，建立一整套豐富的教學(xué)范例或模型，最終形成一個(gè)知識(shí)與思想互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)，濃縮數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高思維品質(zhì).

2． 精選核心之“模”和典型例、習(xí)題，彰顯數(shù)學(xué)建模過(guò)程

初中階段的數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模主要應(yīng)控制在“簡(jiǎn)單應(yīng)用”和一部分“復(fù)雜應(yīng)用”的水平上，教師可以結(jié)合正常教學(xué)內(nèi)容切入，把培養(yǎng)學(xué)生的意識(shí)落到平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，從課本內(nèi)容出發(fā)，聯(lián)系實(shí)際，以教材為載體，通過(guò)一些不大復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題，帶著學(xué)生一起來(lái)完成數(shù)學(xué)化的過(guò)程，給學(xué)生一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的初步體驗(yàn)，落實(shí)典型案例，讓學(xué)生初步掌握建模的常用方法. 隨著學(xué)習(xí)程度的加深，學(xué)生所學(xué)知識(shí)逐漸增多，因此我們結(jié)合教材內(nèi)容精心挑選典型案例，有計(jì)劃地讓學(xué)生參與建模過(guò)程.

案例 如圖，小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用量桶和體積相同的小球進(jìn)行了如下操作：

請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）放入一個(gè)小球量桶中水面升高＿＿＿＿＿＿＿＿＿ｃｍ；

（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（ｃｍ）與小球個(gè)數(shù)x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）至少放入多少個(gè)小球就有水溢出？

分析 認(rèn)真觀察圖形，充分從圖形中獲取解題信息. （１）由第二個(gè)量筒放入３個(gè)球時(shí)量筒中的水上升６ ｃｍ，因此，放入一個(gè)小球量筒中水面升高２ ｃｍ. （２）設(shè)一次函數(shù)為ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，由第一、二兩個(gè)量筒的數(shù)據(jù)，當(dāng)不放小球（ｘ ＝ ０）時(shí)，量筒高度ｙ ＝ ３０；當(dāng)放３個(gè)小球（ｘ ＝ ３）時(shí)，量筒高度ｙ ＝ ３６，代入ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ可以求出ｋ，ｂ. （３）量筒有水溢出，即量筒中水高ｙ大于量筒的高度４９，即２ｘ ＋ ３０ ＞ ４９.

解 （１）放入一個(gè)小球量桶中水面升高 ２ ｃｍ.

（２）設(shè)水面的高度y（ｃｍ）與小球個(gè)數(shù)x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式為y = kx + b，根據(jù)題意，可將點(diǎn)（０，３０），（３，３６）代入，得

b = 30，3k + b = 36，解得k = 2，b = 30.

∴ y與x的函數(shù)關(guān)系式為y = 2x + 30.

（３）由題意可知，量筒有水溢出時(shí)有２ｘ ＋ ３０ ＞ ４９，解得ｘ ＞ ９．５，因此至少放入１０個(gè)小球就有水溢出.

點(diǎn)評(píng) 本題從中國(guó)古老的故事中找到其存在的函數(shù)關(guān)系，情景新穎，同時(shí)具有一定的文化底蘊(yùn)． 對(duì)于第（２）問(wèn)中一次函數(shù)關(guān)系式的求法，我們可以考慮筒中已有的水量為一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)，再利用增長(zhǎng)的量求出相應(yīng)的未知數(shù).

３． 指導(dǎo)開(kāi)展解前分析及解后反思

到了初中以后，學(xué)生較小學(xué)在數(shù)學(xué)知識(shí)、能力上都有較大的提高，因此問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)更有深度、廣度. 在求解過(guò)程的指導(dǎo)中應(yīng)給學(xué)生更多的自由度，但也需要適時(shí)的啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥，并不斷地探究反思.

在上面的案例中，學(xué)生知道要求函數(shù)關(guān)系式，但不知從所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)中選擇何種函數(shù)求解，這時(shí)就需要老師由易到難分層次地引導(dǎo)學(xué)生大膽地動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)腦想、動(dòng)手做，其實(shí)這題的第（１）題已經(jīng)做了一個(gè)鋪墊，教師可以引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題.

總而言之，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步. 數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活，對(duì)教師和學(xué)生要求高等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過(guò)程. 為了改變過(guò)去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)工作. 通過(guò)教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分折和解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高他們分折問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，使他們?cè)谝院蟮墓ぷ髦心芙?jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

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