托普利茲的微積分：歷史發(fā)生的方法

[摘要]微積分是大學(xué)的一門重要的必修課，然而很多學(xué)生卻學(xué)不懂這門課程，究其原因是因?yàn)榻虒W(xué)方法不正確。歷史的方法是一種新的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的辦法，為許多數(shù)學(xué)家所提倡，托普利茲就是其中的代表人物，他的著作《微積分——發(fā)生的方法》是提倡用歷史的方法講授微積分的代表作。歷史的方法是怎么來的？歷史的方法的本質(zhì)是什么？歷史的方法是怎樣在微積分教學(xué)中應(yīng)用的？歷史的方法對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有何意義？應(yīng)該怎樣對(duì)待歷史的方法？本文著重以對(duì)《微積分——發(fā)生的方法》這本著作的研究為例，分析了上述問題。

[關(guān)鍵詞]

托普利茲；微積分；歷史的方法

[圖分類號(hào)]0172

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1005—4634（2012）04—0083—03

0 引言

20世紀(jì)六七十年代大學(xué)校園里出現(xiàn)的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”在學(xué)生學(xué)習(xí)的一開始就提出了嚴(yán)格性的數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生的學(xué)習(xí)遇到了明顯困難，為了應(yīng)對(duì)這種困難，當(dāng)時(shí)的教育工作者發(fā)展了一些替代性的教學(xué)方法。但在實(shí)際的教學(xué)中，這些修正主義的措施并沒有獲得成功。為了應(yīng)對(duì)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”中出現(xiàn)的問題，發(fā)生教學(xué)法應(yīng)運(yùn)而生。詳細(xì)闡述發(fā)生教學(xué)法的有波利亞、托普利茲、孔德、M.克萊因等。

波利亞根據(jù)發(fā)生原理將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程分為若干階段，托普利茲提倡應(yīng)把歷史的發(fā)展作為教學(xué)指南，避免在教學(xué)過程中過分夸大概念的精確性，支持深入到數(shù)學(xué)概念的背景解釋和應(yīng)用中去，使數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生真正有意義。國內(nèi)外都對(duì)歷史的方法有一定程度的研究，例如研究學(xué)習(xí)歷史的方法的意義是什么，歷史的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，歷史的方法有何局限性等等，但以上的研究都較寬泛，讀者很難理解歷史的方法的真正含義和它對(duì)學(xué)習(xí)的幫助，《微積分一發(fā)生的方法》是美籍猶太數(shù)學(xué)家托普利茲的著作，是托普利茲把歷史的方法應(yīng)用于微積分教學(xué)的代表之作，目前沒有中文譯本，也沒有關(guān)于這本書的研究成果，本書對(duì)于國內(nèi)的大學(xué)教育改革有重大的教學(xué)和研究價(jià)值，值得借鑒。

1 Toeplitz與《微積分——發(fā)生的方法》

Toeplitz生于一個(gè)猶太家庭，他的父親和祖父都是數(shù)學(xué)教師，并且都發(fā)表過數(shù)學(xué)論文。托普利茲大學(xué)畢業(yè)后繼續(xù)研究代數(shù)幾何并在1905年被授予博士學(xué)位。1906年托普利茲來到了哥廷根，到1913年，托普利茲得到了Kiel大學(xué)的教師職位。1935年，由于希特勒上臺(tái)托普利茲被解雇了，1939年他移民巴勒斯坦并建設(shè)Jerusalem大學(xué)，但遺憾的是，他于第二年病逝。托普利茲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域主要研究無限線性，20世紀(jì)30年代他發(fā)展了無限維空間的一般理論，并且批判巴拿赫的工作太抽象了。

《微積分——發(fā)生的方法》是托普利茲的一本非常出色的書，1949年由數(shù)學(xué)家GKothe編輯，并以德文出版。這本書倡導(dǎo)人們以歷史的方法來學(xué)習(xí)微積分，認(rèn)為數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)有重大的啟發(fā)作用，他書中的觀點(diǎn)和教學(xué)法為數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)可，數(shù)學(xué)家M.Edwards在其著作《費(fèi)馬大定理》中寫到：“相比于普通學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法而言你可能對(duì)歷史的方法更感興趣，就像數(shù)學(xué)家托普利茲所說的，歷史的方法的本質(zhì)是——在解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)首先要追尋這個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的歷史溯源，以便激勵(lì)讀者更好地學(xué)習(xí)它，研究數(shù)學(xué)思想的歷史背景是為了找到所要回答的數(shù)學(xué)問題的核心所在。與此相反的教學(xué)方法，就是并不重視問題的來源，只呈現(xiàn)給作者最終的答案。從邏輯的角度來看，確實(shí)只需要得到最終答案，但是從心理學(xué)的角度來看只知道問題的答案而不了解問題本身，這是很困難的。最好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中抽象理論的方法就是遵從托普利茲的建議——暫時(shí)忽略已經(jīng)給出的現(xiàn)代版定義，追溯問題的本源。”

2 《微積分——發(fā)生的方法》全書結(jié)構(gòu)

《微積分一發(fā)生的方法》這本書分為4個(gè)部分，第一部分講述了無窮過程的本質(zhì)，第二部分主要講述定積分，第三部分講的是微分及積分的計(jì)算，第四部分講到了微積分在運(yùn)動(dòng)問題上的應(yīng)用。整體上來看本書的4大部分也正是人們研究微積分的4大階段，書中4個(gè)章節(jié)的內(nèi)容大體如下。

1）無窮過程的本質(zhì)。本書以古希臘對(duì)無窮小的分析開始，依次講到了古希臘的比例理論、窮竭法、現(xiàn)代數(shù)的概念、阿基米德對(duì)圓的測(cè)量、無窮幾何數(shù)列，在這些小節(jié)中作者用大量篇幅來介紹極限的歷史，目的是讓讀者知道微積分這個(gè)概念是怎么來的，也正是托普利茲所提倡的歷史方法的首要任務(wù)：讓讀者在得到答案之前首先明確他所要解決的數(shù)學(xué)問題到底是什么？來源于哪里？前面幾個(gè)小節(jié)作者詳盡的介紹了微積分問題的背景，本章后半部分作者繼續(xù)介紹無窮過程的實(shí)例和應(yīng)用，也就是十進(jìn)制小數(shù)和連續(xù)復(fù)利這兩節(jié)，通過上面直觀的對(duì)于極限的介紹，作者最終在第一部分的結(jié)尾的兩個(gè)小節(jié)作者以現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言正式介紹了收斂與極限的概念和無窮數(shù)列，這也正是歷史的方法的通常做法：首先忽略現(xiàn)代的數(shù)學(xué)概念，在讀者充分了解問題的歷史背景之后再給出明確定義。

2）定積分。作者第二章講述的內(nèi)容是定積分，接下來第三章才講到微分，這與教材中的編輯順序有所差異，這里是作者的失誤？還是有意為之？本書是托普利茲發(fā)生教學(xué)法的代表作，顯然作者這樣安排是很有深意的，因?yàn)闅v史上人們對(duì)于定積分的研究是早于微分的，因此作者就遵循歷史的順序來編排這兩章，先講定積分后講微分，這樣的編排順序也正是歷史方法的魅力所在，它所遵循的是千百年來人們邏輯思維的發(fā)展順序，因而更易被讀者接受。難能可貴的是作者不僅在整體上以歷史方法的順序編排，而且在每個(gè)章節(jié)中作者也同樣遵循歷史的方法，正如第二章所述，作者首先帶領(lǐng)人們認(rèn)識(shí)所要解決的數(shù)學(xué)問題——定積分，它的歷史背景就是源于阿基米德對(duì)正交拋物線的研究，以及1880年以后人們對(duì)于阿基米德研究成果的進(jìn)一步的研究，這構(gòu)成了本章的前兩節(jié)，在問題本身介紹清楚之后，下面要做的就是解決問題，后續(xù)章節(jié)中作者依次講到了面積及定積分，非嚴(yán)格的定積分，定積分概念和有關(guān)定積分的定理，這些都是從前人的直觀研究的基礎(chǔ)之上抽象而來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言。

3）微分及積分運(yùn)算。第三章是微分問題，關(guān)于微分，作者首先提到了正切和反正切以及速度問題，這正是眾所周知的微分這個(gè)概念形成的歷史背景。在了解了微分問題的歷史背景之后要做的就是學(xué)會(huì)解決微分問題，乘積法則和分部積分正是解決微積分運(yùn)算問題時(shí)的基本工具，在第三章的后半部分作者展示了各種典型的微積分問題及解決方法，幫助讀者加深理解。

4）微積分在運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。在本書的最后一章作者講到了微積分在運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，在這一部分中作者以物理學(xué)中人們對(duì)于運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究歷史為主線，逐次講到微積分在速度加速度、鐘擺、彈性擺動(dòng)和Kepler三大定律上的運(yùn)用，人們?cè)趯?duì)運(yùn)動(dòng)問題研究不斷加深的過程中，同時(shí)也是微積分理論不斷發(fā)展的過程，運(yùn)動(dòng)問題也是微積分形成的重要?dú)v史背景之一，作者在這里安排本章內(nèi)容旨在通過對(duì)微積分知識(shí)的運(yùn)用加深讀者的理解，最后達(dá)到讓讀者對(duì)于微積分知識(shí)融會(huì)貫通的目的，本書在內(nèi)容編排上環(huán)環(huán)相扣，邏輯關(guān)系緊湊而且逐步遞進(jìn)，不論在整體構(gòu)思還是在章節(jié)敘述上作者都遵從了歷史方法的研究步驟，可謂匠心獨(dú)運(yùn)同時(shí)也給予讀者以深刻的啟發(fā)。

3 書中應(yīng)用歷史方法的具體案例

選取書中的一小節(jié)：“定積分的由來——阿基米德的拋物線”為代表來對(duì)歷史的方法給予說明。

歷史上定積分這一概念是始于阿基米德對(duì)拋物線面積的測(cè)量。阿基米德怎樣求解拋物線面積的？阿基米德對(duì)于正交拋物線面積的求解又與所要學(xué)習(xí)的定積分有什么關(guān)系呢？見圖1。

如圖1所示，在一個(gè)給定的平行四邊形EE’F’F中，D是EE’的中點(diǎn)，A是F’F的中點(diǎn)，令B是EE’上的任意一點(diǎn)，BD平行于EF，現(xiàn)在在線段BD上取一點(diǎn)C使得BC：EF=BO²：EO²，當(dāng)B從E運(yùn)動(dòng)到E’時(shí)滿足上述比例式的點(diǎn)所走過的軌跡是一條拋物線。現(xiàn)在疑問就在于圖中所示的拋物線面積可求嗎？阿基米德給出了證明，見圖2。

如圖2所示，先取OE的中點(diǎn)B，再取BE及OB的中點(diǎn)，作EF的平行線，依次交拋物線于點(diǎn)C、C₁、G₂，同理在OE’也做相應(yīng)的變換，易證：

至此就明確了拋物線的面積可由其內(nèi)接三角形FOF’求出。阿基米德的結(jié)果是很重要的，其意義在于表明了一些曲邊多邊形的面積是可以通過其它可測(cè)圖形的面積來表示，正是阿基米德對(duì)正交拋物線面積的求解給了人們求解曲邊多邊形面積的靈感，啟發(fā)人們?cè)谇蠼馄渌叾噙呅蚊娣e時(shí)遵循無限分割、化整為零、求和及其極限的方法，而這也正是阿基米德的工作精髓所在。有了這個(gè)例子讀者就可以很好的理解定積分的思想溯源，進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代精確的定積分概念就不會(huì)感到突兀難懂了，歷史方法的作用和教學(xué)價(jià)值也就展現(xiàn)在面前。

4 總結(jié)和建議

通過對(duì)《微積分一發(fā)生的方法》一書的整體結(jié)構(gòu)研究和個(gè)別的案例剖析，可以感受到歷史的方法對(duì)于學(xué)習(xí)微積分乃至其它學(xué)科的巨大幫助。

1）歷史的方法是符合邏輯思維認(rèn)識(shí)規(guī)律的教學(xué)方法。在學(xué)習(xí)微積分時(shí)之所以感覺吃力很大程度上是因?yàn)闀旧现v述的微積分是截?cái)鄽v史的片面微積分知識(shí)，由于缺失重要的思想來源敘述導(dǎo)致學(xué)生百學(xué)不得其解。托普利茲的這本書之所以能夠幫助讀者學(xué)懂微積分，主要原因在于他是以歷史的方法講述微積分。作者并沒有急于讓人們知道微積分如何求解，而是首先告訴讀者微積分是怎么來的，從而由微積分的歷史背景慢慢地講到微積分的定義，最后才去解決微積分的求解問題，這是符合人們長久以來養(yǎng)成的邏輯思維順序的教學(xué)方法，因而讀者易于接受，學(xué)習(xí)事半功倍也就不難理解了。

2）歷史的方法是以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的趨勢(shì)。發(fā)生教學(xué)法自提出以來受到很多著名數(shù)學(xué)家的稱贊和支持，他們普遍認(rèn)為歷史的方法才是邏輯思維最原始也是最有效的思考方法，人們?cè)趯W(xué)習(xí)高深數(shù)學(xué)概念的時(shí)候應(yīng)該從最基礎(chǔ)的知識(shí)開始循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)。歷史上人們研究一門學(xué)科時(shí)漫長的探索過程正是他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)知識(shí)逐步加深的過程，因此今天在講授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)沒有道理不利用同樣的方法，在國外，歷史的方法一經(jīng)提出就引起了極大的反響，并在實(shí)際的教學(xué)應(yīng)用中取得了很好的效果，《微積分——發(fā)生的方法》這本書正是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的經(jīng)典教材，可以預(yù)計(jì)將來會(huì)有越來越多的這類教材呈獻(xiàn)給讀者，有了更多此類教材以后在大學(xué)課堂中講授數(shù)學(xué)的方法也必然會(huì)逐漸走向科學(xué)合理化，即向歷史的方法靠攏。

3）應(yīng)當(dāng)加大研究和實(shí)施力度，以求讓歷史的方法在大學(xué)教學(xué)中充分利用。盡管歷史的方法為很多數(shù)學(xué)家和學(xué)者所認(rèn)可，但這一方法在教學(xué)和學(xué)習(xí)中卻遠(yuǎn)未達(dá)到所應(yīng)有的規(guī)模。究其原因，一方面因?yàn)楹芏嗬蠋熾m然知道歷史的方法有助于學(xué)生學(xué)習(xí)，但要搜尋書本上數(shù)學(xué)概念的來源非常繁瑣，因而很多老師并不愿意耗費(fèi)心力實(shí)施這種方法，另一方面利用歷史的方法編排教材時(shí)要求編者有很高的水平，這是現(xiàn)在很多教材的編者所不能達(dá)到的。當(dāng)然還有其他各方面的原因制約著發(fā)生教學(xué)法的實(shí)際應(yīng)用，基于以上現(xiàn)狀，筆者建議應(yīng)加大教育投入力度，深入研究歷史的方法在教學(xué)實(shí)施過程中遇到的困難，積極尋求改變現(xiàn)狀的方法，真正讓歷史的方法為大學(xué)教育充分利用，讓學(xué)習(xí)更加豐富有活力。