三種機器碼的聯系與理解

［摘 要］為了對數據進行處理，首先要把數據表示出來，計算機中采用機器碼表示數值型數據。首先從原碼出發，分析了計算過程中出現的問題，引出補碼，并深入剖析了補碼的定義。在計算補碼的過程中又引出反碼。清晰地展示了三種機器碼之間的內在關系，對機器碼概念的理解有一定的幫助。

［關鍵詞］原碼 補碼 反碼 模

［中圖分類號］ G623.58 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2012）05-0127-02

一、引言

計算機可以看做是一個數據處理機，這里的數據含義很廣，既包括數值型數據，也包括諸如漢字、圖形、符號、聲音等等非數值型的數據，既然要對這些數據進行處理，那么，首先，必須要把這些數據表示出來。這里介紹數值型數據在計算機當中的表示方法，也稱為機器碼。

二、三種機器碼

說到數值型數據，我們自然會想到，有正數和負數之分，比如：+1001， -1100，既然計算機采用的是二進制，

也就是只有0和1兩種狀態，那么，正號和負號在計算機當中如何來表示呢？很顯然，有兩種解決的方法，第一：用0表示正數，我們把+1001可寫為01001，用1來表示負數，把-1100可寫為11100。第二種方法：用1來表示正號而用0來表示負號。當把符號用0和1表示出來之后，也稱為把符號數字化之后，還有一個問題，如果要進行加、減、乘除等等運算，那么符號位是否參與運算？如果參與運算，會有什么樣的結果？為了能夠妥善的解決這一系列的問題，就產生了把符號位和數值位一起編碼的很多種表示方法，分別為：原碼、補碼、反碼和移碼。

同時，為了能夠區別我們平常書寫的帶有正負號的數和符號數字化的數，我們把前者（即帶有正負號的數）稱為真值，用x表示；后者（符號數字化之后的數）稱為機器碼，用[x]原來表示（或[x]補，[x]反）。為方便描述，下面我們僅以整數為例。

（一）原碼

整數原碼的定義如下：

［x］原＝0，x 2n＞x≥02n+x 0≥x＞-2n （1）

其中，x為真值，n為整數的位數。

原碼是非常簡單的一種編碼方法，它由兩部分構成，符號位和數值位。如果是正數，符號位用0來表示，如果是負數，符號位用1來表示；數值部分均為真值x的絕對值。

定義的理解：觀察公式（1），正數原碼的定義很好理解；負數原碼的定義如何理解呢？不難發現，2n用二進制來表示，其形式為：

在此基礎上，加上n位數的絕對值即得原碼，這與上面的描述（符號位用1來表示，數值部分是真值x的絕對值）相吻合。

原碼雖然簡單直觀，但用原碼做加法時，會出現如下問題：

從表1中可以看出，如果一個正數和一個負數做加法，事實上，我們會比較這2個數絕對值的大小，然后用絕對值大的數減去絕對值小的數，符號選擇絕對值大的數的符號。也就是說，實際上，我們做的是減法運算。那么，能否只做加法運算呢，如果可以把減法運算都化為加法運算，只設計加法器就足夠了。回答是肯定的，這要借助補碼來實現。

（二）補碼

介紹補碼之前，必須先介紹模的概念。

什么是模呢？可以把模理解為一個容器的容量。比如：我們最常見到的時鐘，它的容量是12，其模也就是12。利用模的概念可以幫助我們理解很多實際問題。

比如：時鐘的時針目前指向6點的位置，要使其指向3點，共有2種方法，順時針撥9格（+9），或逆時針撥3格（-3）。這里，+9和-3具有同樣的實際意義。順時針我們做的是加法運算：6+9=15，因為時鐘的模是12，達到模的部分會自動丟失，也就是15-12=3，即3點。逆時針我們做的是減法運算：6-3=3。不難看出，在這個例子當中，-3和+9是完全等價的。負數-3用正數+9可以代替，這樣就可以化減法運算為加法運算了。這里，+9就是-3的補碼（模為12的情況下）。

通過剛才的實例，得出一個結論：如果運算是有模的運算，負數用它的補碼代替，就可以劃減為加。那么如何求得其補碼呢？通過觀察發現：負數加上模即可得到補碼。

在計算機中，如果能夠效仿這種方法，同樣可以化減為加。那么計算機當中的運算是有模的運算嗎？是。因為在計算機中，數據是放在寄存器當中的，而寄存器的位數是固定的。例如：1個4位二進制計數器，當計數器從0變到15之后，再加1，計數器又變為0，也就是說這個計數器的容量是16，其模為2n=16。同理，n+1位的寄存器，模為2n+1。那么，n位的整數，計算其補碼時，模是多少呢？為了在以后的運算過程中，符號位也能參與運算，我們連同符號位考慮在內，也就是說，n位的整數，放在n+1位的寄存器當中，模應該選擇2n+1，如表2所示：

這樣，得出補碼的定義如下：

［x］補＝0，x 2n＞x≥02n+1+x 0＞x＞-2n（mod2n+1） （2）

其中，x為真值，n為整數的位數

注：正數的補碼就是其原碼，因為在運算過程中，它不需要被替換。

下面，舉例說明負數補碼的計算。

例：x=-1010

引入補碼的目的是為了化減為加，可是，在計算補碼的過程中，又出現了減法運算，我們改進一下計算補碼的過程：

通過觀察發現：這兩個數符號位相同，數值位相反，這就是“原碼”與“反碼”的關系，由此可見，為了更加便捷地計算補碼，引入了“反碼”。那“反碼”如何定義呢？很明顯，反碼加1得到補碼，補碼減1就是反碼了。

（三）反碼

為了更方便地計算負數的補碼，引入了“反碼”，其定義為：

［x］反＝0，x 2n＞x≥0(2n+1-1)+x 0≥x＞-2n（mod2n+1-1） （3）

其中，x為真值，n為整數的位數

四、總結

詳細介紹了3種機器碼的表示方法：從原碼的定義出發，分析了原碼做加減法存在的問題，引出補碼，并對補碼的定義進行了深入的分析。為了簡化補碼的計算引出反碼。清晰地展示了三種編碼之間的關系。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 唐朔飛.計算機組成原理（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［2］ 白中英.計算機組成原理（第四版）［M］.北京：科學出版社，2008.

［3］ 王誠. 計算機組成原理（第3版）［M］.北京：清華大學出版社，2004.

［4］ 蔣本珊. 計算機組成原理（第2版）［M］.北京：清華大學出版社，2008.

［責任編輯：左 蕓］