例說在中考中備受青睞的最短路徑問題

引例 北師大教材七年級下冊有這樣一道題，如圖１所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區Ａ，Ｂ提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從Ａ，Ｂ到它的距離之和最短？

解析 在街道上可以有許多地點建奶站，現在的問題是哪個點到Ａ，Ｂ兩點的距離之和最短，如何找到這個點．我們知道兩點之間線段最短，假設奶站在點Ｃ，如能將ＡＣ和ＢＣ的長度和轉化為一條線段的長度，則此時的點Ｃ即為所求．根據這一思路，本題解答如下：如圖１，作出點Ａ關于街道的對稱點Ａ′，連接Ａ′Ｂ，交街道于點Ｃ，那么點Ｃ就是題目所求的建奶站的地點．這是因為，根據對稱性ＡＣ ＝ Ａ′Ｃ，ＡＣ ＋ ＢＣ ＝ Ａ′Ｃ＋ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ；若選擇街道上的任何其他點，如點Ｄ，則有ＡＤ ＋ ＢＤ ＝ Ａ′Ｄ ＋ ＢＤ ＞ Ａ′Ｂ，所以奶站應建在點Ｃ，才能使從Ａ，Ｂ到它的距離之和最短. 當然作出點Ｂ關于街道的對稱點Ｂ′，也可同樣得到答案．

這個問題反映了初中數學中的軸對稱問題、動態幾何問題、最短路徑問題．近年來，動態幾何之最短路徑問題是中考題的一個熱點問題，在各地中考題中不斷出現，小到填空題，大到壓軸題．本文結合中考題加以分析和拓展，以期給教與學帶來幫助．

一、兩個動點問題

例1 如圖2，在銳角三角形ＡＢＣ中，AB = 4，∠ＢＡＣ ＝ ４５°，∠ＢＡＣ的平分線交ＢＣ于點Ｄ，Ｍ，Ｎ分別是ＡＤ和ＡＢ上的動點，則ＢＭ ＋ ＭＮ的最小值是多少？

解析 本題中Ｍ，Ｎ均為動點，可作出點Ｂ關于ＡＤ的對稱點Ｂ′，若點Ｎ是定點，則與引例相同，而點Ｎ是ＡＢ上的動點，我們知道，直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．

如圖3，作點Ｂ關于ＡＤ的對稱點Ｂ′，∵ ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分線，∴點Ｂ′在ＡＣ上，且有AB′ = AB =

過點Ｂ′作Ｂ′Ｎ⊥ＡＢ于點Ｎ，交ＡＤ于點Ｍ，根據對稱性，Ｂ′Ｍ ＝ ＢＭ，則ＢＭ ＋ ＭＮ ＝ Ｂ′Ｍ ＋ ＭＮ ＝ Ｂ′Ｎ，此時ＢＭ ＋ ＭＮ取得最小值，最小值為Ｂ′Ｎ的長度．

在Ｒｔ△ＡＢ′Ｎ中，AB′ = ，∠ＢＡＣ ＝ ４５°，

∴ Ｂ′Ｎ ＝ ４，即ＢＭ ＋ ＭＮ的最小值是４．

評注 本題是兩個動點，首先化“折”為“直”，應根據已知條件作出定點的對稱點，再結合直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，作出垂線段，從而得到最短距離．

二、求四邊形周長的最小值，已知兩邊長度

例2 （２０１０天津）在平面直角坐標系中，矩形ＯＡＣＢ的頂點Ｏ在坐標原點，頂點Ａ，Ｂ分別在ｘ軸、ｙ軸的正半軸上，ＯＡ ＝ ３，ＯＢ ＝ ４，Ｄ為邊ＯＢ的中點．

（１）若Ｅ為邊ＯＡ上的一個動點，當△ＣＤＥ的周長最小時，求點Ｅ的坐標；

（２）若Ｅ，Ｆ為邊ＯＡ上的兩個動點，且ＥＦ ＝ ２，當四邊形ＣＤＥＦ的周長最小時，求點Ｅ，Ｆ的坐標，并求周長的最小值．

解析 （１）第（１）問與引例相同，如圖4所示，這里不再贅述，當△ＣＤＥ的周長最小時，因為ＣＤ長度不變，所以僅需求ＣＥ ＋ ＤＥ的最小值，點Ｅ坐標為（１，０）．

（２）四邊形ＣＤＥＦ的周長為ＣＤ ＋ ＥＦ ＋ ＤＥ ＋ ＣＦ，由已知條件可知，ＣＤ，ＥＦ的長度為定值，因此要求得四邊形ＣＤＥＦ的周長的最小值，只需求出ＤＥ ＋ ＣＦ的最小值．

如圖5，作點Ｄ關于ｘ軸的對稱點Ｄ′，在ＣＢ上截取ＣＧ ＝ ２，連接Ｄ′Ｇ，交ｘ軸于點Ｅ，在ＥＡ上截取ＥＦ ＝ ２．

∵ ＧＣ∥ＥＦ，ＧＣ ＝ ＥＦ ＝ ２，

∴四邊形ＧＥＦＣ是平行四邊形，

∴ ＧＥ ＝ ＣＦ，∴ ＤＥ ＋ ＣＦ ＝ Ｄ′Ｅ ＋ ＧＥ ＝ Ｄ′Ｇ，即ＤＥ ＋ ＣＦ此時取得最小值．

又 ∵ ＤＣ，ＥＦ為定值，

∴此時四邊形ＣＤＥＦ的周長最小．

∵ ＯＥ∥ＢＣ，

∴ Ｒｔ△Ｄ′ＯＥ∽Ｒｔ△Ｄ′ＢＧ，有而BG = BC - CG = 1，∴ OE = ∴ OF = OE + EF 在Ｒｔ△Ｄ′ＢＧ中，Ｄ′Ｂ ＝ ６，ＢＧ ＝ １，

由勾股定理，得D′G = 在Ｒｔ△ＣＢＤ中，ＢＤ ＝ ２，ＢＣ ＝ ３，由勾股定理，得CD =

∴四邊形ＣＤＥＦ的周長最小值+ 2，點Ｅ坐標為（，０），點Ｆ坐標為（，０）.

評注 本題四邊形的四條邊中，ＣＤ，ＥＦ為定值，另兩條邊ＤＥ，ＣＦ為對邊，要取得ＤＥ ＋ ＣＦ的最小值，不僅要作出定點的對稱點，還要進行線段的平移，從而化“折”為“直”．

三、求四邊形周長的最小值，已知一邊長度

例3 （２０１１深圳）拋物線ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的頂點為Ｃ（１，４），交ｘ軸于Ａ，Ｂ兩點，交ｙ軸于點Ｄ，其中點Ｂ的坐標為（３，０）．

（１）求拋物線的解析式；

（２）如圖3，過點Ａ的直線與拋物線交于點Ｅ，交ｙ軸于點Ｆ，其中點Ｅ的橫坐標為２，若直線ＰＱ為拋物線的對稱軸，點Ｇ為直線ＰＱ上的一動點，則ｘ軸上是否存在一點Ｈ，使Ｄ，Ｇ，Ｈ，Ｆ四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點Ｇ，Ｈ的坐標；若不存在，請說明理由．

解 （１）設拋物線的解析式為y ＝ a（ｘ － １）２＋４，將點Ｂ（３，０）代入，得o ＝ ａ（３ － １）２ ＋ ４，解得ａ ＝ －１．

∴ 所求拋物線的解析式為ｙ ＝ －（ｘ － １）２ ＋ ４ ＝ －ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ３.

（２）要使四邊形ＤＦＨＧ的周長最小，由于ＤＦ是一個定值，只要使ＦＨ ＋ ＧＨ ＋ ＤＧ取得最小值即可，考慮的思路是使三條邊共線，即化“折”為“直”． ∵點Ｇ在拋物線的對稱軸上，點Ｈ在ｘ軸上，∴作出點Ｄ關于拋物線對稱軸的對稱點，作出點Ｆ關于ｘ軸的對稱點，連接兩個對稱點，則問題得以解決．

又 ∵拋物線y = -x2 + 2x + 3的圖像分別與ｘ軸、ｙ軸交于點Ａ，Ｂ，Ｄ，

∴當y = 0時，-x2 + 2x + 3 = 0，∴ x = -1或x = 3.

當x = 0時，y = 3.

∴點Ａ（－１，０），點Ｂ（３，０），點Ｄ（０，３）.

又 ∵點Ｅ在拋物線y = -x2 + 2x + 3上，且點Ｅ的橫坐標為２，

∴點Ｅ坐標為（２，３）.

設直線ＡＥ的解析式為y = kx +b，將點Ａ（－１，０），點Ｅ（２，３）代入，得-k + b = 0，2k + b = 3，

解得k = 1，b = 1，

∴直線ＡＥ的解析式為y = x + 1.

∴點Ｆ坐標為（０，１）

如圖7，作點Ｆ關于ｘ軸的對稱點Ｆ′，則點Ｆ′坐標為（０，－１）.

又 ∵拋物線的對稱軸為直線ＰＱ ： ｘ ＝ １，∴點Ｄ與點Ｅ關于ＰＱ對稱.連接ＥＦ′，分別交直線ＰＱ和ｘ軸于Ｇ，Ｈ，連接ＤＧ，ＦＨ，由圖形的對稱性可知，ＤＧ ＝ ＥＧ，ＨＦ ＝ ＨＦ′，∴ ＤＧ ＋ ＧＨ ＋ ＨＦ ＝ ＥＧ ＋ ＧＨ ＋ ＨＦ′ ＝ ＥＦ′，此時四邊形ＤＧＨＦ的周長最小．

EF′∴四邊形ＤＧＨＦ周長的最小值為ＤＦ ＋ ＥＦ′ ＝設直線ＥＦ′的解析式為y = k1x + b1，將Ｅ（２，３）、點Ｆ′（０，－１）代入，得2k1 + b1 = 3，b1 = -1，解得k1 = 2，b1 = -1.

∴直線ＥＦ′的解析式為y = 2x - 1，

當x = 1時，y = 1；當y = 0時，∴點Ｇ坐標為（１，１），點Ｈ坐標為評注 本題四邊形的四條邊中只有ＤＦ為定值，要使得另外三條邊之和有最小值，需將三條邊共線，由點Ｇ在拋物線的對稱軸上，點Ｈ在ｘ軸上，故作出點Ｄ關于拋物線對稱軸的對稱點，作出點Ｆ關于ｘ軸的對稱點，連接兩個對稱點，則問題得以解決．

通過以上幾例的分析不難發現，解決動態幾何之最短路徑問題的本質就是要化“動”為“靜”，化“折”為“直”，再綜合其他相關知識，如“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”、“線段的平移”、“勾股定理”等，許多問題便可以迎刃而解．