對兩道算式謎的剖析

在小學數學教學中，算式謎是培養學生數學思維能力、提高學生計算能力的一個重要環節，因此教師們十分重視. 以下是我對兩道題的剖析.

例1 把０，１，２，３，４，５，６，７，８，９這十個數字不重復地填到右面算式中，使得算式成立.

像這樣的題目對于大多數的學生來說，只要填上一個答案就可以了. 如果對于一些學有余力的學生，我們要求他們把所有可能的情況都寫出來，又應該如何啟發學生思考呢？初看似乎簡單，但要一下子全部寫出來又十分棘手. 那么對這道題目如何抓住問題的關鍵呢？

首先，我們可以非常容易地想到１應該填到和的千位上，而且知道１是因為進位而產生的，這時我們就應該想到因進位而引起數字的變化. 再一個需要考慮的是，要從整體看問題，我們就會發現不論怎么變化，０，１，２，３，４，５，６，７，８，９這十個數字的總和總是４５，如果我們能知道和的四位數字是多少時問題就變得簡單多了.

當數字相加需要進位時，兩個加數各位數字的和與它們的和的各位數字和將發生有規律的變化，每有一個進位時，兩個加數各位數字和將比它們的和的各位數字和減少９.

通過這樣分析后，我們設被加數的各位數字和為Ｘ，加數的各位數字和為Ｙ，和的各位數字和為Ｚ，且Ｘ，Ｙ，Ｚ均為正整數.

（1）當有一個進位時，Ｘ ＋ Ｙ比Ｚ少９，所以Ｘ ＋ Ｙ － ９ ＝ Ｚ，Ｘ ＋ Ｙ ＋ Ｚ － ９ ＝ ２Ｚ，則２Ｚ ＝ ４５ － ９，Ｚ ＝ １８.這時進位在千位上，因此０不能出現在加數和被加數上，因此１，０均出現在和上，且和的各位數字和又為１８，這樣另兩個數字只能為８和９，這時在百位上不能為８或９，所以和為１０８９或１０９８.

（2）當有兩個進位時，Ｘ ＋ Ｙ比Ｚ少１８，所以Ｘ ＋ Ｙ － １８ ＝ Ｚ，Ｘ ＋ Ｙ ＋ Ｚ － １８ ＝ ２Ｚ，則２Ｚ ＝ ４５ － １８，２Ｚ ＝ ２７，又因為Ｚ必須為整數，所以這種情況不能發生.

（3）當有三個進位時，Ｘ ＋ Ｙ比Ｚ少２７，所以Ｘ ＋ Ｙ － ２７ ＝ Ｚ，Ｘ ＋ Ｙ ＋ Ｚ － ２７ ＝ ２Ｚ，則２Ｚ ＝ ４５ － ２７，Ｚ ＝ ９.這時千位上是１，如果０不出現在和上，這時只有１，２，３，４，而它們的和為１０，大于９，再者，０要是出現在加數或被加數上容易形成數字重用的可能，因此１，０均出現在和上，這樣另兩個數字和只能為８，所以它們分別是３和５，２和６，這時所有可能的情況是１３０５，１５０３，１０３５，１０５３，１３５０，１５３０，１６０２，１２０６，１０６２，１０２６，

１６２０，１２６０.

到這時就會覺得問題變得一目了然了，然后對這十四種情況逐一解決就可以了.

例2 在下面的方框內填上１，２，３，４，５，６，７，８，９九個數字，使算式成立．（每個數字不得重復使用）

不論是否有這樣的算式，應該說這是一道很好的題目，因為在做這道題目時，首先要進行嘗試．在嘗試的過程中，除了要進行準確的計算外，還要符合特定的要求：四位數乘一位數其積仍是一個四位數，其中不能有相同的數字．這就需要進行一系列的猜想、推理、檢驗等多個思維環節，同時要盡可能排除不必要的逐一檢驗，這對于培養學生的思維能力是大有裨益的．

下面對這道題進行全面、系統地分析解答.

有沒有這樣的算式？有多少個這樣的算式？我們首先要抓住問題的關鍵，從乘數入手，來判斷這個一位乘數的可能情況：

（1）乘數是１與９是不可能的. 因為當乘數為１時，積仍然是被乘數，顯然與題意不合；而當乘數為９時，被乘數最小的四位數為１２３４，則積是１１１０６，顯然也與題意不合．

（2）乘數是２，５，８是不可能的. 因為當乘數為２，５，８時，被乘數與積的各位數字和分別為４３，４０，３７，可是被乘數與積的各位數字和應該是３，６，９的倍數，而４３，４０，３７都不能被３，６，９整除，所以乘數不能用２，５，８. 當然５，８也可以從其他方面否定其可能性.

（3）現在來論證乘數為３的情況，如果乘數為３，被乘數與積的各位數字和為４２，能被３整除，又因為積是３的倍數，所以被乘數應該也是３的倍數，因此積應該為９的倍數，所以積的各位數字和為１８或２７（９和３６是不可能的），那么被乘數的各位數字和分別為２４與１５. 被乘數最小的四位數為１２４５，積的最大的四位數為９８６４，而９８６４ ÷ ３ ＝ ３２８８，又因為千位不能為３，因此被乘數最大的四位數應小于３０００．

我們從被乘數入手，千位與百位不能為１２，１４，因為積的千位為３，４．

千位與百位分別為１５，１６，１７，１８，１９，２１，２４，２５，２６，２７，

２８，２９，現在來分別討論每種情況. 在數字選取時四位的數字和必須是３的倍數.

過濾后經過逐一驗證，無一符合要求.

（4）現在來論證乘數為６的情況，設被乘數為ｘ，積為６ｘ，６ｘ ≤ ９８７５，ｘ ＜ １６４６，各位數字不能為６，因此１２３９ ≤ ｘ ≤ １５９３，又因為被乘數與積的各位數字和為３９是３的倍數，所以ｘ也能被３整除， 因此積應該為９的倍數，所以積的各位數字和為１８或２７（９和３６是不可能的），那么被乘數的各位數字和分別為２１與１２.

過濾后經過逐一驗證，無一符合要求.

（5）論證乘數為７的情況，當乘數為７時，設被乘數為ｘ，則積為７ｘ，ｘ的最小值為１２３５，７ｘ ≤ ９８７６，所以ｘ ≤ １４０９ ，又因為ｘ中不能有０，因此把１４００~１４０９除去后，得到１２３４ ≤ ｘ ≤ １３９８，

當千位、百位分別取１，２時個位不能取３，５，６，７，因此個位取４，８，９，所有符合條件的數是：１２３４，１２５４，１２６４，１２８４，

１２９４，１２３８，１２４８，１２５８，１２６８，１２９８，１２３９，１２４９，１２５９，１２６９，１２８９. 經過逐一驗證后無一個符合要求.

當千位、百位分別取１，３時個位不能取１，３，５，７，９，因此個位取２，４，６，８，所有符合條件的數是：１３４２，１３５２，１３６２，

１３８２，１３９２，１３２４，１３５４，１３６４，１３８４，１３９４，１３２６，１３４６，１３５６，

１３８６，１３９６，１３２８，１３４８，１３５８，１３６８，１３９８．經過逐一驗證后知無一符合題意.

因此，最后乘數是４的情況，如果有的話，乘數只可能是４，設被乘數為ｘ，則積為４ｘ，ｘ最小的是１２３５，最大是２４６９，因為４不能重復使用，因此最大的數是２３９６，因此１２３５ ≤ ｘ ≤ ２３９６.

當千位與百位分別取１，２時，個位不能為１，２，３，４，５，６，８，個位只能是７，９，因此這些數為 １２３７，１２５７，１２６７，１２８７，１２９７，

１２３９，１２５９，１２６９，１２７９，１２８９. 經過逐一驗證后無一個符合要求.

當千位與百位分別取１，３時，積的千位數字為５，個位不能為１，３，４，５，６，個位只能是２，７，８，９，因此這些數為１３５２，１３６２，１３７２，１３８２，１３９２，１３２７，１３５７，１３６７，１３８７，１３９７，１３２８，１３５８，１３６８，１３７８，１３９８，１３２９，１３５９，１３６９，１３７９，１３８９. 經過逐一驗證后無一個符合要求.

當千位與百位分別取１，５時，積的千位為６，個位不能為１，４，５，６，個位只能是２，３，７，８，９，因此這些數為１５３２，１５６２，

１５７２，１５８２，１５９２，１５２３，１５６３，１５７３，１５８３，１５９３，１５３７，１５６７，

１５８７，１５９７，１５２８，１５３８，１５６８，１５７８，１５９８，１５２９，１５３９，１５６９，

１５７９，１５８９. 經過逐一驗證后無一個符合要求.

當千位與百位分別取１，６時，積的千位出現６，因此沒有符合要求的數.

當千位與百位分別取１，７時，個位不能為１，４，５，６，７，個位只能是２，３，８，９，因此這些數為１７３２，１７５２，１７６２，１７８２，１７９２，１７２３，１７５３，１７６３，１７８３，１７９３，１７２８，１７３８，１７５８，１７６８，１７９８，１７２９，１７３９，１７５９，１７６９，１７８９. 經過逐一驗證后，１７３８符合要求.

當千位與百位分別取１，８時，積的千位為７，因此個位不能為１，２，４，５，６，７，８，個位只能是３，９，因此這些數為１８２３，１８５３，１８６３，１８７３，１８９３，１８２９，１８３９，１８５９，１８６９，１８７９.經過驗證后無一個符合要求.

當千位與百位分別取１，９時，積的千位為７，因此個位不能為１，４，５，６，７，９，個位只能是２，３，８，因此這些數為１９３２，

１９５２，１９６２，１９７２，１９８２，１９２３，１９５３，１９６３，１９７３，１９８３，１９２８，

１９３８，１９５８，１９６８，１９７８. 經過逐一驗證后，１９６３符合要求.

當千位與百位分別取２，１時，積的千位為８，個位不能為１，２，３，４，５，６，８，個位只能是７， ９，因此這些數為２１３７，２１５７，

２１６７，２１８７，２１９７，２１３９，２１５９，２１６９，２１７９，２１８９. 經過驗證后無一個符合要求.

當千位與百位分別取２，３時，積的千位為９，因此個位不能為１，２，３，４，５，６，８，９，個位只能是７，因此這些數為２３１７， ２３５７，２３６７，２３８７，２３９７. 經過逐一驗證后無一個符合要求.

所以最終我們找到兩個符合要求的算式：１９６３ × ４ ＝ ７８５２，１７３８ × ４ ＝ ６９５２.

當看到這些題目時，首先，要回顧題目所涉及的相關知識；其次，通過分析，找出解題的切入點；最后，分類逐個解決. 通過這些優秀題目的剖析可培養學生的數學思維能力.