由一道課本例題帶來的教學思考

綜觀近幾年高考試題，可以發現，源于課本例題、練習題、習題的考題占了一定的份量。有些高考試題是對課本例題、練習題、習題的改編或重組而成的。“重基礎、考能力”，“源于課本、高于課本”，是高考命題的原則。因此，對課本進行合理的利用，特別是對課本例題進行挖掘、引申、改造與重組，顯得尤為重要。下面就課本的一道例題進行加工改造，引伸拓寬，揭示有價值的新結論，以開闊學生的思路，培養學生的創造能力。

【例題】．如圖：AB是⊙o的直徑，PA⊥面⊙o，C是圓周上任意一點，

求證：面PAC⊥面PBC。

本題是新課標必修二頁的例

題2，如果就題論題，本題絲毫顯不

出其特別之處，因而也不會吸引學生

對知識的追求與探索，還會使他們感

到枯燥無趣，這時，如果教師向學生

揭示該題有價值的新結論，學生會興

味無窮，探求不止。

應用層面

教學中教師有意識地對數學例題作多層面、多角度的變式與探究，引導學生從“變”的現象中發現不變的本質，從“不變”中探求規律，將教學活動營造為開放、寬松、愉悅、和諧的師生探究與合作交流的過程.逐步培養學生靈活多變的創新思維品質，完善學生的認知結構，提高學生發現問題、解決問題和探索創新的能力。

引申1、四面體各面中最多含有多

教師在講解例題時，不要局限于一題一解，就題論題，而要不斷啟發學生從問題的不同層面、不同的角度去思考，尋找多種解決問題的途徑，并從中分析、比較、篩選出最佳方案，達到多中求快、求巧、求優的目的，即“一題多解”；同時還要進行“一題多變”，即將原題“變一變”、“擴一擴”、“改一改”的變式訓練。只有這樣才能充分激活學生封閉的思維，真正達到提高學生思維品質的效果。

變式1、原題中，A在PC、PB上的射影為M、N

又已知DE⊥PB，所以∠EDB＝60°，即所求的二面角等于60°。

三、深化層面

對例題的縱、橫多方位的研究引申，不僅可獲得一些重要結論，更重要的是通過變換、引申等手段，充分發揮了該題的智能價值，從而可以調動學生學習的積極性，激勵學生思維的創造性。

深化1．在四棱錐中，底面是矩形(改原題底面直角三角為矩形)，平面，，.以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.

（1）求證：平面⊥平

面；

（2）求直線與平面

所成的角的大小；

（3）求點到平面的

距離. （09江西）

解：方法一：（1）依題設知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。

又因為P A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，則CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，又，則是的中點可得， 則

設D到平面ACM的距離為，由即，可求得，

設所求角為，則，。

（1）可求得PC=6。因為AN⊥NC，由，得PN。所以。

故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的。

又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，，，；設平面的一個法向量，由可得：，令，則。設所求角為，則，

所以所求角的大小為。

（3）由條件可得，.在中，，所以，則， ，所以所求距離等于點到平面距離的，設點到平面距離為則，所以所求距離為。

深化2.如圖，在四棱錐中(改原題底面直角三角為梯形)，

，且DB平分，E為PC的中點，，

（Ⅰ）證明∥

（Ⅱ）證明

（Ⅲ）求直線BC與平面PBD

所成的角的正切值

【答案】（1）略（2）略（3）

【解析】（Ⅰ）證明：設，連結EH，在中，因為AD=CD，且DB平分，所以H為AC的中點，又有題設，E為PC的中點，故∥，又，所以∥

（Ⅱ）證明：因為，所以

由（Ⅰ）知，，故

（Ⅲ）解：由可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。

由

在中，，所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。

一般講，課本上的例題都顯露出他們的形式訓練價值，而其實際功能都是隱含的，需要教育者加強發掘，使所學的理論知識與實踐技能相結合。這樣，可以增強學生學習興趣，堅定學習信念，形成完整的認識結構和數學觀念意識，真正品嘗到知識清泉甘醇。當然發掘例題背后的功能，應該把學生的認識，規律和接受程度，跨度不能太大。否則會禁錮學生認識結構的發展，因此，講完例題之后，應該循序漸近地進行總結提煉，充分發掘其例題的作用。努力提高學生素養，這些無疑上升為例題教學中的數學知識結構的最高層次。