橢圓、雙曲線焦點弦和頂點弦垂直的充要條件

摘要：本文主要是對橢圓、雙曲線焦點弦和頂點弦垂直的條件進行研究，利用向量法證明兩直線垂直的充要條件，并且通過例題說明該結論有廣泛應用。

關鍵詞：圓錐曲線 焦半徑 焦點弦 頂點弦 充要條件

圓錐曲線方程一直是高考的熱點內容，而且考題難度高，也是同學學習過程中覺得比較難的一個內容之一。因為課本所介紹的方法少，內容少，而考題卻五花八門，有些題目如果用課本所介紹的常規方法也可能解得出，但是相當復雜，因此，當學到這章內容時，作為老師都是通過自己在解題過程中所總結出一些規律和結論讓同學們記住，在以后解題時靈活運用，簡化題目，化難為易。作為學生，要大量練習之后善于總結、歸納，發現規律，要看通、看透題目所隱含的條件。本人近段時間復習這一章內容時，總結出本文所要介紹的一些結論。

1、有關概念

橢圓（雙曲線）上的點與焦點的距離稱為焦點弦，過橢圓（雙曲線）焦點的直線與橢圓（雙曲線）相交于兩點，這兩點間的線段稱為焦點弦。焦半徑和焦點弦在解題中有著重要的作用，在實踐過程中總結出橢圓焦半徑公式：，。焦點弦公式已通過證明其成立，今后在解題過程中可直接運用。橢圓（雙曲線）上的點與頂點連成的線段叫頂點弦。

在解有關圓錐曲線問題時，我們發現焦點弦與頂點弦有

一種特殊的關系，當它們互相垂直時，便可以產生許多聯想，

從而解決很多數學問題。然而焦點弦與頂點弦在什么條件下

互相垂直呢？本文先證明它們互相垂直的充要條件，然后把

這個結論作為定理，去解決圓錐曲線的其它問題。

2、圓錐曲線焦點弦與頂點弦垂直的充要條件

圓錐曲線與直線的位置關系多種多樣，我們在做題時經常碰到一些特殊的位置關系。比如，焦點弦與頂點弦所在直線垂直。碰到有關這方面題目后，本人通過證明，驗證得出這種位置關系的充要條件。

2.1橢圓焦點弦與頂點弦垂直的充要條件

定理1 F是橢圓的焦點，P是橢圓上一點，A是橢圓長軸端點，且A與F位于y軸的兩側，直線PA的傾斜角為，橢圓的離心率為e，則的充要條件是sinθ=.

證明：不妨設A是橢圓的左端點，F是右焦點（，0），則直線PA的方程

由對稱性，當A是橢圓的右端點，F是左焦點時同樣可以證得該定理成立。

2.2 雙曲線焦點弦與頂點弦垂直的充要條件

定理2 F是雙曲線(>0，b>0)的焦點，P是雙曲線上一點，A是雙曲線實軸端點，且A與F位于 y軸的兩側，直線PA的傾斜角為，雙曲線的離心率為e，則的充要條件是。

通過以上證明，橢圓和雙曲線焦點弦和頂點弦垂直的充要條件，與頂點弦所在直線的傾斜角和它們的離心率e有關，今后在解題過程中，如果題目中的條件符合以上兩個定理之一的，我們都可以直接運用，能使解題過程簡化。

3 定理1、定理2具有廣泛的應用

為了說明這兩個定理具有廣泛的應用，我們看下面幾個例子。

例1：F是橢圓的左焦點，A是橢圓右端點，問橢圓的離心率e在什么范圍內時，橢圓上恒存在一點P，使得

分析：根據題目中所給的條件，由定理1可得。

解：設直線PA的傾斜角為，則由題設和定理1得，sin =，由傾斜角的范圍和三角函數的有界性得，0

0< e < 1 ，故當時，橢圓上恒存在一點P使得

例2：從雙曲線的左端點A作傾斜角為300的直線，與雙曲線的另一交點為P，雙曲線的右焦點為F，若，||=3，求雙曲線方程。

分析：根據題目所給的已知條件，它符合定理2的條件，因此，此題可以用定理2的結論求解。

解：由題意和定理2知

sinθ==sin300==>e=2 由e = 得…(1)

點A的坐標為，設直線PA的方程為：

即

右焦點到直線PA的距離為：==3 所以… (2)

聯立（1）（2）解得， ，由得 b==

故所求雙曲線方程為-=1

以上兩個例題運用了定理1或定理2的結論解題，實踐證明，這兩個定理具有廣泛應用，并且在解題過程中具有化難為易的功能。在歷年的高考中也出現類似以上兩個例題的題目，我們同樣可以運用這兩個定理來解決。下面這個例題就是2005年全國高考上海卷上的一個題目。

例3：A、B是橢圓+=1的左右端點，F是右焦點P在橢圓上，并且位于x軸上方，PA┴PF。1）求點P坐標；2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

分析：題目中所給的條件符合了定理1的條件，因此可以利用定理1的結論解題。

解：由橢圓方程可知：， ， ， 設直線PA的傾斜角為，則由題意和定理1得：

sin===

=>=或，因為點P位于 軸上方，

所以=，在直角三角形PAF中，由橢圓焦點弦公式得：

，

代入橢圓方程解得故所求的點為

2） 由1）的解知道直線PA的方程為即

設點M的坐標為，則M到直線PA的距離

由題設知：

橢圓上的點到點M（2，0）的距離為：

即

由橢圓方程得，代入上式得

由橢圓的范圍得，所以當時，

近年來高中生壓力越來越大，復習時間緊迫，并且對所有科目一視同仁。學生復習時一定要善于總結規律，而且要會運用，這樣復習效果就好一些。

參考文獻：

(1) 薛金星#8226;中學教材全解高二（上）[M] .陜西人民教育出版社.2005年6月

(2) 黃岡市教學創新課題組#8226;黃岡高考兵法[M].陜西師范大學出版社.2004年6月

(3) 人民教育出版社中學數學室#8226;全日制普通高級中學教科書（必修）數學第二冊（上）[M] .人民教育出版社.2004年6月