挖掘概念的精髓,培養學生品質

眾所周知，在任何一本數學教科書上，展現給學生的數學概念都是極其簡練、精確、完美的。然而，斑爛絢麗、奧妙無窮的數學體系又是怎樣被這些簡練、精確、完美的數學概念描繪得如此清清楚楚、井井有條的呢？對于這些概念為什么要這樣定義呢？換其它方法行不行？這些能提高學生學習興趣和培養學生發現能力歸納抽象方法，教科書上卻沒有完美地告訴學生，教師如果就按課本上從定義到解題的演繹過程進行教學，那么教出的學生，多數只能了解繼承知識，能有發展創新的不多。換個角度講，純演繹的教學方式不利于培養學生的綜合分析、抽象、創造能力，所以在數學教學中，注意對概念的歸納抽象過程的教學，將是十分有意義的，為了使學生明確地掌握概念，我在教學中采用如下幾點做法。

一、尋根源，抓形成，理解概念

幾乎每一個數學概念的引入都伴隨著一個有趣的或動力的故事，概念引入時，可向學生介紹，例如在引入概率的概念時，可向學生介紹概率產生的背景：1654年密爾爵士走進巴黎的賭場，發現賭客正在以連擲4次骰子均未出現六點而與莊家打賭：假使出現六點賭客就算輸，密爾和其他賭客都清楚賭注于莊家有利，然而他由此又想到更深一層：“同時投擲兩次骰子，連續都不出現六點，要擲幾次才對賭客有利？這個問題的結果最后還就教于當時的法國數學大師帕斯卡及費爾馬得以解決，因而人們把這天看做是研究概率的發端。又如在講解析幾何時，可向學生介紹笛卡爾，講無理數時可向學生介紹希伯索斯等，這些都是對學生進行思想教育的極好的素材。

實踐表明，追尋根源，抓形成入手，使學生一接觸新概念使對它產生興趣，從而能比較容易接受并理解概念。

二、分層次，抓要點，掌握概念

在每一個定義中都存在著關鍵性的詞匯，抓住了定義中的關鍵性的詞匯，就是抓住了事物的本質屬性，因而在講述概念的過程中著重分析定義中的關鍵性的詞匯，就能使學生明確地掌握這些概念，把本質屬性所反映的全體對象揭示出來。例如，兩條異面直線的公垂線的定義，它的本質屬性是：垂直、相交，因此要說明某一直線是兩條異面直線的公垂線，就必須指出：(1)這條直線和兩條異面直線都垂直。(2)這條直線和兩條異面直線都相交，這兩個條件必須同時滿足，經過老師的分析，學生就容易地掌握了兩條異面直線的公垂線的定義，隨后，就可以提出如下問題：“兩條異面直線的公垂線可否有多條？”“和兩條異面直線都垂直的直線叫做這兩條異面直線的公垂線嗎？”這時，學生就能根據兩條直線的公垂線的定義正確地作出問答。

這就表明，強調定義中的關鍵性詞匯，揭示概念的本質屬性能夠幫助學生明確地掌握概念。

三、揭本質，抓關鍵，強化概念

數學概念的定義既有其普遍性的意義，又有其唯一的特點。教學中要善于把握普遍性的意義，同

時又要抓好唯一性的特點，例如在講二面

角的概念時，我們構造如圖的角∠AOB，問

能否用它來定義二面角的大小呢？既然數

學中的概念應具有唯一性，二面角的大小

也應該是唯一的，然而象圖中的這樣的角

有無數個，顯然這樣的方式不能定義二面角的大小，那么如何規定既簡明且又便于應用量度的方法來確定其半平面的旋轉量，使二面角的大小能完全確定下來？在學生充分討論的基礎上再進行比較、歸納，最后得出二面角的平面角的定義。在這個過程中，為了得到能用量角器來度量二面角的方法，先試探了一個在兩平面中畫任意角∠AOB，這時實質上是先進行了猜想，在進行進一步確認時又發現它具有不確定性，于是又進行修正性的猜想和試驗，直到能找到既具有明確性、簡單性，又具有與兩個半平面旋轉相對應的角的方法，最后再下定義，經過師生共同的討論研究，學生不僅學會了二面角的平面角的定義和二面角度量方法，而且懂得了為什么要這樣定義，以后在數學中應如何給數學概念下定義，其意義不僅在于掌握定義是如何描述的，更重要的是掌握了概念形成思維過程，使學生從中嘗到了處理數學問題的思想和方法。

四、找聯系，抓對比，鞏固概念

在中學數學中，有許多概念既有本質不同的一面，又有內在聯系的一面，教學中如果只注意某一概念的本身，忽視不同概念之間的聯系，那么就會使學生對概念的掌握停留在膚淺的表面上，因此，采用找聯系，抓對比的教學方法，可使學生區別異同，防止概念模糊，起到深化鞏固概念的作用，例如，立體幾何第一章的所有定義，大體上可以分為如下的幾個類型：

1、平行：包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行。

2、相交：包括直線與直線相交，直線與平面相交，平面與平面相交。

3、垂直：包括直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直。

4、夾角：包括直線與直線夾角，直線與平面夾角，平面與平面夾角。

5、距離：包括兩條異面直線的距離，兩個平行平面間的距離，點到平面的距離，直線和平面的距離。

當新課授完之后，我給學生歸納了以上的幾個類型，并要求學生對同類型的定義加以比較，找出它們的相同點與不同點，例如，對平行而言，不管是直線與直線平行，直線與平面平行，或平面與平面平行，它們都有一個相同之處，即“無公共點”。學生掌握了這個相同之點，就能掌握平行這一概念的本質。

五、舉反例，抓變式，深化概念

數學概念都是從正面闡述的，從而導致教師講解時，機械地講授數學概念，如果在教學過程中，在學生正面認識了概念基礎上引導他們通過反例從反面或側面去剖析，那么就可以深化概念的理解，例如，在講復數相等的概念后，可向學生提問：“復數是否可以比較大小？”通過分析，加深了學生對復數相等的概念的認識。又如在講等比數列的定義后，可向學生提出：“是否存在公比為零的等比數列？”通過尋求知道這種數列是不存在的，而且學生可以得到一個新的發現——等比數列中的項是不能為零的，至此，學生對等比數列的理解得到深化。

在教學中，尋求問題多變形式，可以培養學生靈活多變的思維能力，同時也會加深學生對概念的理解。例如，由等差數列的定義可得出它通常公式，通常用式子an=a1+(n-1)d來表示，不少學生死記這個公式的形式，沒有更深理解等差數列的含意，認為式子an=ap+(n-p)d(p≤n)不符合上述形式而否定它是等差數列的通項公式。之所以會出現此類錯誤，主要原因是學生沒有掌握概念的本質屬性。

在數學概念的教學過程中，我們只要從教材和學生的實際出發，注意利用上面的五個要素，認真觀察概念的本質屬性和內在聯系，從各種不同的角度分析問題，才能對概念的理解得以升華，思維產生飛躍，取得良好的教學效果。