高中數學直線方程如何應用

直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合判定都是解析幾何重要的基礎內容。應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規劃是直線方程一個方面的應用，屬教材新增內容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手。

1、直線與三角的綜合應用。

例1某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距am，bm，(a＞b)，問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？

命題意圖：本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了直線的有關概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學問題的能力

知識依托：三角函數的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值.

錯解分析：解決本題有幾處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值.如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復雜起來.

技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數值.

解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x，0)(x＞0)，欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取得最大值.

由三角函數的定義知：A、B兩點坐標分別為(acosα，asinα)、

(bcosα，bsinα)，于是直線AC、BC的斜率分別為：

kAC=tanxCA= ，

于是tanACB=

由于∠ACB為銳角，且x＞0，則tanACB≤ ，當且僅當 =x，即x= 時，等號成立，此時∠ACB取最大值，對應的點為C( ，0)，因此，學生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大

2、直線方程另一個方面的應用：線性規劃。

線性規劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區域。求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，設s=ax+by，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優解.

例2 預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？

分析：解題中應當注意到問題中的桌、椅張數應是自然數這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優解不滿足題設時，應作出相應地調整，直至滿足題設.

先設出桌、椅的變數后，目標函數即為這兩個變數之和，再由此在可行域內求出最優解。

解：設桌、椅分別買x、y張，由題意得約束條件為

由

∴A點的坐標為(，)

由

∴B點的坐標為(25，)

所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區域(如右圖)

由圖形直觀可知，目標函數z=x+y在可行域內的最優解為(25，)，但注意到x∈N*，y∈N*，故取y=37.

所以應買桌子25張，椅子37張是最好選擇。

3、直線方程的又一個重要應用：對稱問題。

中學里面所涉及到的對稱一般都可轉化為點關于點、點關于直線或曲線關于點、曲線關于直線的對稱，中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要手段。

拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0).一光源在點M( ，4)處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)

(1)設P、Q兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，證明：y1．y2=－p2；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應用.本題是一道與物理中的光學知識相結合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的能力，.

知識依托：韋達定理，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程。

錯解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時。

技巧與方法：點關于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關鍵。

(1)證明：由拋物線的光學性質及題意知

光線PQ必過拋物線的焦點F( ，0)，

設直線PQ的方程為y=k(x－ )

由①式得x= y+ ，將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－ y－p2=0，由韋達定理，y1y2=－p2.

當直線PQ的斜率角為90°時，將x= 代入拋物線方程，得y=±p，同樣得到y1．y2=

－p2.

(2)解：因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設點M( ，4)關于l的對稱點為M′(x′，y′)，則

解得

直線QN的方程為y=－1，Q點的縱坐標y2=－1，

由題設P點的縱坐標y1=4，且由(1)知：y1．y2=－p2，則4．(－1)=－p2，

得p=2，故所求拋物線方程為y2=4x.

(3)解：將y=4代入y2=4x，得x=4，故P點坐標為(4，4)

將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0，得x= ，

故N點坐標為( ，－1)

由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0，

設M點關于直線NP的對稱點M1(x1，y1)

又M1( ，－1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點( ，－1)與點M關于直線PN對稱.

4、在證明不等式中的應用。

例4 已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：abc+2＞a+b+c.

證明：構造線段的方程為y=f(a)=(bc－1)a+2－b－c，其中|b|＜1，|c|＜1，|a|＜1，且－1＜b＜1.

∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0

f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0

∴線段y=(bc－1)a+2－b－c(－1＜a＜1＝在a軸上方，這就是說，當|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1時，恒有abc+2＞a+b+c.

5、利用直線的斜率比較大小。

例5 設M= ，試比較M與N的大小。

解：將問題轉化為：比較過A(－1，－1)、B(102001，102000)及過A(－1，－1)、C(102002，102001）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y= x，點A在直線的下方，∴kAB＞kAC，即M＞N.

6、直線在數列中的應用。

例6 設數列{an}的前n項和Sn=na+n(n－1)b，(n=1，2，…)，a、b是常數且b≠0.

(1)證明：{an}是等差數列.

(2)證明：以(an， －1)為坐標的點Pn(n=1，2，…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程.

證明：(1)由條件，得a1=S1=a，

當n≥2時，有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.

因此，當n≥2時，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.

所以{an}是以a為首項，2b為公差的等差數列.

(2)∵b≠0，對于n≥2，有

∴所有的點Pn(an， －1)(n=1，2，…)都落在通過P1(a，a－1)點，且以 為斜率的直線上，此直線方程為y－(a－1)= (x－a)，即x－2y+a－2=0.

直線方程在高中數學中占有重要地位是學好解析幾何的關鍵。在以后教學中教師一定要加以重視。