關于乘法分配律的發散性思維訓練的反思

說起乘法分配律，不少人都認為它只是一個運算規律. 其實在數學學習和應用中，它還是一種全新思維. 如果教師能充分認識它的內含，拓展它的外延，并利用這一規律對學生進行發散性思維訓練，必將有助于學生良好數學思維習慣的培養，從而全面提升學生解決數學實際問題的能力. 對于乘法分配律，蘇教版小學數學教材是安排在小學數學第８冊第七單元，作為運算規律來介紹，主要用于簡便計算. 其實作為規律，乘法分配律同其他規律一樣，不僅具有學習的階段性，而且隨著學習內容的深入，還具有一定的發展性、系統性，可以上升為一種有效思維，為學生學習數學，解決現實問題開拓新的途徑.

一、作為運算規律可以進行簡便計算

1. 乘法分配律的基本形式：即可以利用的公因數十分明顯. （這部分內容簡單，同學們可以自己練習. ）

２０１ × １７ － １７ ４３ × ２０１９．９ × ３．８

２．８ × ７．５ ＋ ２．８ × ２．５２４ ×＋ ２３ ×

（ ＋－ ） ÷ ３０ × （ ＋－ ）

÷－÷ （ ＋ ） × ２９ × ２３

當然，即使是符合乘法分配律基本形式的運算條件，在復雜的計算中也不一定就能直接從算式中看出來，而是要隨著計算的逐步深入慢慢地呈現出來.

２. 乘法分配律簡便運算的提高形式：公因數不明顯，需要經過仔細觀察，利用已有條件，“變換”出相同的公因數，然后利用乘法分配律簡便運算.

例1 計算 ０．９９９ × ０．７ ＋ ０．１１１ × ２．７.

分析 這題目看上去不可以簡便計算. 因為運用乘法分配律進行簡便運算，兩個乘法算式中要有一個相同的因數才行. 通過觀察題目，我們發現，２．７可以寫成９ × ０．３，而０．１１１ × ９正好等于０．９９９，這樣兩個乘式中都含有相同的因數 ０．９９９，可以利用乘法分配律來進行簡便計算了.

原式 ＝ ０．９９９ × ０．７ ＋ ０．１１１ × ９ × ０．３ ＝ ０．９９９ × ０．７ ＋０．９９９ × ０．３ ＝ ０．９９９ × （０．７ ＋ ０．３） ＝ ０．９９９ × １ ＝ ０．９９９.

二、乘法分配律可用于復雜方程的求解

例2 求方程８（x ＋ ２） ＝ １０（x － ２）的解.

８x ＋ １６ ＝ １０x － ２０

２x ＝ ３６

x ＝ １８.

三、乘法分配律配合方程解比較復雜的應用題

例3 商店膠鞋、布鞋共有４５雙，膠鞋每雙３．５元，布鞋每雙２．４元，全部賣完后，膠鞋比布鞋多收入１０元. 兩種鞋子各多少雙？

解 設商店里有膠鞋ｘ雙，布鞋有（４５ － ｘ）雙，則：３．５ｘ － ２．４ × （４５ － ｘ） ＝ １０. ３．５ｘ － １０８ ＋ ２．４ｘ ＝ １０. ５．９ｘ ＝ １１８. ｘ ＝ ２０. ４５ － ２０ ＝ ２５（雙）.

答：布鞋２５雙，膠鞋２０雙.

四、進一步拓展算術解法的空間

例4 六（１）班有學生７８人，其中女生的比男生的多４人，那么六（１）班有男、女生各多少人？

分析 題目的數量關系比較復雜，女生的分率和男生的分率的單位“１”不一樣，根本無法直接應用這兩個分數. 但是如果我們此時借用一下乘法分配律，對復雜的數量關系進行簡化，那就另當別論了. “女生的比男生的多４人”可以轉化成：“女生比男生的幾分之幾多幾人”即：“女生的× ２比男生的 × ２多４ × ２人”于是問題就解決了.

解 （７８ － ４ × ２） ÷ （１ ＋× ２） ＝ ７０ ÷＝ ４２（人）.

女生人數：７８ － ４２ ＝ ３６（人）或（４２ ×＋ ４） ÷＝ ３６（人）.

答：六（１）班有男生４２人、女生３６人.

五、乘法分配律為算術方法和方程解題提供了溝通和交流的平臺

例5 五（１）班同學為四川地震災區捐款，已知全班人數為４８人，平均每個女同學捐款１８元，每個男同學捐款２５元，已知全班女同學比男同學多捐４７元，五（１）班男、女同學各多少人？

分析 方程解法①：設男生ｘ人. 女生（４８ － ｘ）人. 則：

（４８ － ｘ） × １８ － ２５ × ｘ ＝ ４７.（運用乘法分配律化簡）

ｘ ＝ （４８ × １８ － ４７） ÷ （１８ ＋ ２５）

ｘ ＝ １９.

方程解法②：設女生ｘ人. 男生（４８ － ｘ）人. 則：

１８ｘ － ２５ × （４８ － ｘ） ＝ ４７.（運用乘法分配律化簡）

ｘ ＝ （２５ × ４８ ＋ ４７） ÷ （１８ ＋ ２５）

ｘ ＝ ２９.

假設解法①假設全部為女生，則：

（４８ × １８ － ４７） ÷ （１８ ＋ ２５） ＝ ８１７ ÷ ４３ ＝ １９.（男生人數）

假設解法②假設全部為男生，則：（２５ × ４８ ＋ ４７） ÷ （１８ ＋ ２５） ＝ １２４７ ÷ ４３ ＝ ２９.（女生人數）

運用乘法分配律可以把方程式轉化為算式解法所需要的算式，從而使題目的數量關系更加明顯.

六、巧求三角形的面積和

對于乘法分配律在幾何圖形中的應用，教材提供了長方形周長的不同解法，其實乘法分配律的用法遠不止這些：

（1）利用乘法分配律，可以推導出同底或等底n個三角形的面積和為Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＝ ａｈ１ ＋ ａｈ２ ＋ … ＋ ａｈｎ ＝ ａ × （ｈ１ ＋ ｈ２ ＋ … ＋ ｈｎ）.

（2）同理可以推出：同高或等高n個三角形的面積和Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＝ ａ１ｈ ＋ ａ２ｈ ＋ … ＋ ａｈｎ ＝ ｈ × （ａ１ ＋ ａ２ ＋ …ａｎ）.

綜上所述，乘法分配律不僅在計算中可以作為運算定律對整數、小數和分數使用，還可以在其他數學學習中，把它作為一種思維方式進行拓展，在解決數學問題的過程中跨躍思維空間，使計算簡便，使思維提速，從而收到事半功倍的效果.

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