小學數學教學中的高等數學思想的滲透

高等數學和小學數學之間存在著密切的聯系，小學數學的教學中滲透著高等數學的思想. 二者之間在思想上是相通的.

１． 化歸思想

化歸思想是數學方法論中常用基本思維方式，特殊性化歸為高等數學的問題提供了一種基本方法，一般性化歸更是創新數學理論的基本手段. 其基本思想是：將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答. 它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等. 在小學數學中蘊藏著各種可運用化歸的方法進行解答的內容，讓學生初步學會化歸的思想方法. 如：教學圓面積的計算方法，這里要推導出圓面積公式，在推導過程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個近似長方形，從而推導出圓的面積公式. 這里把圓剪拼成近似長方形的過程，就是把曲線形化歸為直線形的過程. 這一思想在高等數學中的例子比比皆是. 例如，利用拉氏變換求解微分方程，利用截痕法來研究三元二次方程所表示的曲面特征. 在定積分的應用過程中，利用化歸原則，將曲邊梯形面積、旋轉體體積巧妙轉換成求解矩形面積和薄圓柱體積，使問題簡單化，達到求解目的.

２． 分類和比較

分類，是通過比較建立集合的思維方法. 比較，是從具有同一性的事物間尋找其差異性，或者從具有差異性的事物間尋找其同一性的思維方法.

小學生由于年齡特征，思維往往表現出單一性，各種知識交錯出現，一時也難以分辯. 應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類后，再通過比較才能系統完整的理解它們，如不分類，就很容易出現混淆. 在解題教學中，通過分類還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而增強學生思維訓練.

案例：教學三角形的分類

教師第一步先讓學生把現實中的三角形分類：

（１）出示不同類型的三角形．

（２）小組合作學習，分組討論三角形分類情況． （強調分類就得找一個分類的標準）

（３）組織學生匯報情況：你們是從什么角度分類的？怎么分？

可能情況：ａ． 按角的特征進行分類；ｂ． 按邊的特征進行分類先歸納，再分別根據角的特征去定義：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．

（４）教師在肯定的情況下，同時板書集合圖進行分類． （強調我們今天是按角的特征分類. ）

然后讓學生觀察手中的三角形，將表格填完整：

以上是按三角形角的大小來分的，在這一過程中，為學生提供了觀察、操作、思考和討論的空間，通過學生間的交流使學生悟出“一個三角形中最多只能有一個直角或一個鈍角”的道理，把前面學過的角的分類的方法正確地遷移到三角形的分類中來，實現了三角形的正確分類，并給這三類三角形取出了合適的名字，這不僅激發了學生的創新熱情和創新意識，還培養了學生的思維變通力和獨創力.

而在高等數學中可以把整數與多項式、矩陣與線性變換、多面體和平面圖等建立聯系，這就是比較、分類的方法.

３． 建模思想

數學建模思想就是把現實世界中有待解決或未解決的問題，從數學的角度發現問題、提出問題、理解問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學的數學知識與技能求得解決的一種數學思想和方法. 小學數學教學中有的內容實際上可以看做數學模型的教學. 如在“空間與圖形”領域的教學中就滲透了數學建模思想.

課上可以設計這樣的環節：用１６根１厘米長的小棒圍成長方形或正方形，你能圍出多少個？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格.

學生經過研究可以得到“長７ ｃｍ，寬１ ｃｍ”，“長６ ｃｍ，寬２ ｃｍ”，“長５ ｃｍ，寬３ ｃｍ”，“長４ ｃｍ，寬４ ｃｍ（正方形）這四種長方形，其中正方形的面積最大. 在研究過程中學生會漸漸地認識到：要想得到最大的面積，就要把所有的長方形一一列舉出來去比較；而要想得到不同的長方形，必須在保持周長不變的情況下改變長方形的長和寬，由于長逐漸地減小，在周長不變的情況下，寬必須跟隨著不斷地增大. 這樣就把“靜態”的學習變成了“動態”的研究. 整個教學過程經歷了“問題情境──建立數學模型──解釋與應用”的基本過程，引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，實現了學習方式的轉變，改變了單一的記憶、接受、模仿的被動學習方式，培養學生的能力. 數學建模思想在高等數學中更是體現得淋漓盡致，還專門開設了數學建模課程，進行數學建模競賽培訓.

４． 數形結合思想

數形結合最早是出現在華羅庚先生在１９６４年撰寫的《談談與蜂房結構有關的數學問題》的科普小冊子中，提出“數無形時少知覺，形少數時難入微”. 數和形是數學研究的兩個主要對象，兩者既有區別又有聯系，在解答數學問題時，數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法. 既分析了數式特征，又了解了幾何含義. 如：一艘貨船運貨，已經運走了１０噸，剩下的部分是全部的一半，這批貨共有多少噸？畫出線段圖后，題中數量之間的對應關系就非常清楚. 通過數形結合，把題中給出的數量關系轉化成圖形，由圖直觀地揭示數量關系，有利于活躍學生的思維，提高解題能力. 高等數學中常常用到數形結合思想，像利用維恩圖來理解概率論中的概念， 微積分中第一積分中值定理的講解及運用.

綜上所述，高等數學和小學數學之間確實存在著密切的聯系. 正如《數學課標（實驗稿）》中指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法. ”小學數學是義務教育的一門重要學科，它是為學生后續學習打基礎的，它蘊含著許多與高等數學相通的數學思想方法. 如果在小學數學的教學過程中能科學地認識高等數學與小學數學在思維形式上的相通性，準確地把握每個知識點的內涵和外延，融會貫通，并且積極發展學生的思維，那么將會對學生后續階段數學水平的提高起到一定的推動作用.