活用一元一次方程解決行程問題

行程問題中有三個基本量：路程，速度，時間．一般情況下，對于比較簡單的行程問題學生基本可以直接用關系式“路程 ＝ 速度 × 時間”來解決．但是當題目中的量比較多或者路程不太確定時，學生往往難以解決．下面主要以例題的形式從三個方面說明用一元一次方程解決行程問題的方法．

第一類火車問題

例１ 一列火車勻速行駛，經過一條長３００米的隧道需要２０秒的時間，隧道的頂上有一盞燈垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是１０秒，求火車的長度是多少米？

分析 題目中告訴了兩種情況下的時間，隧道長度，但火車的長度，速度都是未知量，不能直接應用“路程＝速度 × 時間”．但是火車勻速行駛，速度時刻都是相同的，分別將兩種情況下火車的速度表示出來，列出等式即可．題中已知火車通過隧道所用的時間，這段時間火車行駛的路程應該是從火車頭進入隧道到火車尾離開隧道所經過的路程，即火車的長度 ＋ 隧道的長度，所以火車的速度為（火車的長度 ＋ 隧道的長度）／２０；再由燈光垂直照在火車上的時間是１０秒，可以表示出火車的速度為：火車的長度／１０，由火車速度相等可得，（火車的長度 ＋ 隧道的長度）／２０ ＝ 火車長度／１０．

解 設火車的長度為x米，根據題意得

= ，解得x = 300．

答：火車的長度為３００米．

第二類飛行（航海）問題

例2 一架飛機在兩城之間飛行，風速為２４千米／時，順風飛行需要小時，逆風飛行需要３小時，求無風時飛機的速度和兩城之間的路程？

分析 首先理解：

順風行駛：飛機速度 ＝ 無風時飛機的速度 ＋ 風速

逆風行駛：飛機速度 ＝ 無風時飛機的速度 － 風速

一種方法是無論是順風還是逆風，兩城之間的路程不變．順風時路程為：順風速度 × 順風時間，即（無風時飛機的速度 ＋ 風速） × 順風時間；逆風時路程為：逆風速度 × 逆風時間，即（無風時飛機的速度 － 風速） × 逆風時間，根據順風時路程 ＝ 逆風時路程，得到（無風時飛機的速度 ＋ 風速） × 順風時間 ＝ （無風時飛機的速度 － 風速） × 逆風時間；另一種方法是根據無風時飛機的速度是保持不變的，得到順風速度 － 風速 ＝ 逆風速度 ＋ 風速，即 － 風速 ＝＋ 風速．

解法一 設無風時飛機的速度為ｘ千米／時，則順風速度為（ｘ ＋ ２４）千米／時，逆風速度為（x - 24）千米／時，根據題意列方程，得

（ｘ ＋ ２４） ＝ ３（ｘ － ２４），解得x = 840．

即飛機無風時的速度為８４０千米／時，所以兩城之間的路程為：３ × （８４０ － ２４） ＝ ３ × ８１６ ＝ ２４４８（千米）.

解法二 設兩城之間的路程為x千米，則飛機順風時的速度為千米／時，逆風時的速度為千米／時.

根據題意列方程，得 - 24 =+ 24，

解得x = 2448．

即兩城之間的路程為２４４８千米，所以飛機的速度為：

+ 24 = 840（千米／時）.

答：無風時飛機的速度是８４０千米／時，兩城之間的路程為２４４８千米．

航海問題類似于飛行問題，同樣有兩種方法，學生對于解法一可能更容易理解．但只要分析清楚題目中各個量之間的關系，無論采用哪種方法這類題目都會變得簡單．

第三類環形跑道問題

例3 運動場的跑道一圈長為４００米，甲練習騎自行車，平均每分鐘騎３５０米，乙練習跑步，平均每分鐘跑２５０米．兩人從同一處同時反向出發，經過多長時間甲乙首次相遇？若兩人同時同地同向出發，經過多長時間甲乙首次相遇？

分析 若兩人從同一處同時反向出發，甲乙首次相遇他們所用的時間是相同的，并且他們總共走了跑道一圈，即甲走的路程 ＋ 乙走的路程 ＝ ４００；若兩人從同一處同時同向出發，甲乙首次相遇所用的時間仍是相同的，并且快者比慢者多走一圈，即甲走的路程 － 乙走的路程 ＝ ４００．

解 甲乙同時同地反向：設甲乙從出發到首次相遇經過了x分鐘，則甲走的路程為350x米，乙走的路程為250x米，根據題意列方程，得350x + 250x = 400. 解得x = ．

同時同地同向：設甲乙從出發到首次相遇經過了x分鐘，根據題意列方程，得350x - 250x = 400，解得x = 4．

答：甲乙同時同地反向從出發到首次相遇經過了４０秒，甲乙同時同地同向從出發到首次相遇經過了４分鐘．

環形跑道中最關鍵的是理解兩個問題：在同時同地出發的前提下，一個是同向還是反向問題，另一個是首次相遇還是第n次相遇問題．若是反向出發首次相遇，則屬于相遇問題，兩人的路程之和為跑道一圈長度；若是同向出發首次相遇，則屬于追及問題，快者比慢者多走一圈；若是反向出發第n次相遇，兩人所走的路程之和為跑道n圈的長度；若是反向出發第n次相遇，則快者比慢者多走n圈．

初看上述幾個問題可能比較復雜，但只要仔細分析，抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，理解其中的關鍵所在，這類問題就會迎刃而解．

【參考文獻】

［１］ 義務教育課程標準實驗教科書．數學（七年級上冊）［Ｍ］．北京：北京師范大學出版社．２００４，６.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文