對稱問題的解法探討

【摘要】 對稱問題的解法要依托教材有所突破、探討，對于學生學好數學具有舉一反三的作用.

【關鍵詞】 對稱；舉例；解法；評價

全日制普通高中（必修）教科書數學第二冊（上）第８８頁上有一道習題——選擇題：和直線３ｘ － ４ｙ ＋ ５ ＝ ０關于ｘ軸對稱的直線方程為 （ ）.

Ａ. ３ｘ ＋ ４ｙ － ５ ＝ ０ Ｂ. ３ｘ ＋ ４ｙ ＋ ５ ＝ ０

Ｃ. －３ｘ ＋ ４ｙ － ５ ＝ ０ Ｄ. －３ｘ ＋ ４ｙ ＋ ５ ＝ ０

這是一道直線關于直線對稱的問題，類似的問題還有點關于點對稱、點關于直線對稱、直線關于直線對稱等問題，利用對稱的性質思考，其解題思路獨特，本文就它們的解法與應用予以整理，供教學時參考.

一、點關于點對稱

若點Ｐ，Ｐ′關于點Ｏ對稱，則點Ｏ是線段ＰＰ＇的中點，由中點坐標公式易得：Ｐ（ｘ，ｙ）關于點Ｏ（ａ，ｂ）的對稱點Ｐ′（２ａ－ｘ，２ｂ－ｙ）.

二、點關于直線對稱

（一）常見的點關于直線的對稱點

Ａ（ａ，ｂ）關于ｘ軸的對稱點為（ａ，－ｂ）；關于ｙ軸的對稱點（－ａ，ｂ）；

關于直線ｙ ＝ ｘ的對稱點為（ｂ，ａ）；關于直線ｙ ＝ －ｘ的對稱點為（－ｂ，－ａ）；

關于直線ｘ ＝ ｍ的對稱點為（２ｍ － ａ，ｂ）；關于直線ｙ ＝ ｎ的對稱點為（ａ，２ｎ － ｂ）；

（二）解法探討

點Ｐ（ｘ，ｙ）關于直線ｌ：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０（Ｂ ≠ ０）的對稱點為Ｐ′（ｘ′，ｙ′），則ＰＰ′的中點為（，），根據軸對稱性質有：

PP′⊥l，ＰＰ′的中點在ｌ上?圯

ｋＰＰ′#8226;ｋ１ ＝ －１，Ａ（） ＋ Ｂ（） ＋ Ｃ ＝ ０.

從中解得：x′ = x - ，y′ = y - .

若Ｂ ＝ ０，即為點Ｐ（ｘ，ｙ）關于直線：ｘ ＝ ｍ對稱的情形.

例１ 求點Ａ（０，４）關于ｌ：３ｘ － ｙ － １ ＝ ０的對稱點Ａ′的坐標.

解 設Ａ′（ｘ′，ｙ′），則KAA′ = ，ＡＡ′的中點為（，）根據軸對稱的性質有：

AA′⊥l，AA′的中點在ｌ上?圯

#8226;3 = -1，3 ×-- 1 ＝ ０.

即x′ + 3y′-12 = 0，3x′ - y′- 6 = 0.解之得：x′ = 3，y′ = 3.

因此，點Ａ關于直線ｌ的對稱點的坐標為Ａ′（３，３）.

三、直線關于直線對稱

（一）常見的直線關于直線的對稱直線

設直線ｌ的方程為：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０，則它

關于ｘ軸對稱的直線方程為：Ａｘ － Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０；

關于ｙ軸對稱的直線方程為：－Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０；

關于ｙ ＝ ｘ軸對稱的直線方程為：Ｂｘ ＋ Ａｙ ＋ Ｃ ＝ ０；

關于ｙ ＝ －ｘ軸對稱的直線方程為：Ｂｘ ＋ Ａｙ － Ｃ ＝ ０；

由上面的知識，容易得到教材習題１的方程為：３ｘ ＋ ４ｙ ＋ ５ ＝ ０，故應選Ｂ.

（二）解法探討

此類問題一般轉化為點關于直線的對稱點來解決.

若已知直線和對稱軸相交，則交點必在與對稱的直線l2上；然后再求出l1上任一個已知點P1關于直線l的對稱點P2，那么經過交點P2的直線就是直線l2.

若已知直線l1和對稱軸l平行，則與l1對稱的直線l2和l1到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出l1的對稱直線.

例２ 已知直線l：３ｘ － ｙ ＋ ３ ＝ ０，求直線l1：ｘ － ｙ － ２ ＝ ０關于直線ｌ的對稱直線l2.

解法１ 由3x - y + 3 = 0x - y - 2 = 0可解得l1與l的交點為Ｍ（-，-），在l1上取一特殊點（２，０），它關于直線l的對稱點為（ｘ′，ｙ′ ）在直線l2上，根據對稱的性質有：

#8226;3 = -1，3 ×-+ 3 ＝ ０.解之得：x′ = -，ｙ′ ＝ .

由兩點式得對稱直線l2的方程為：

= ，即為：７ｘ ＋ ｙ ＋ ２２ ＝ ０.

解法探討２：由于直線l2與直線l的交點可求且在直線l2上，若能求出直線l2的斜率，則問題可解；因為直線l1，l2關于直線l對稱，則l是l1，l2交角的平分線，利用到角公式即能求出直線l2的斜率，由此可得：

解法２ 設直線l2的斜率為ｋ，由已知，直線l1，l的斜率分別為：１，３.

∵直線l1，l2關于直線l對稱，則l為l1，l2交角的平分線，

∴ l2到l的角 ＝ l1到l的角，

即 = ，解之得：k ＝ －７.

又由解法１得l1與l的交點為Ｍ（-，-）.

∴直線ｌ２的方程為：ｙ ＋＝ －７（ｘ ＋ ）.

即：7x + y + 22 = 0.

評析 解法２的關鍵是用好“到角公式”

解法３ 設Ｍ（ｘ，ｙ）是直線ｌ２上任意一點，它關于直線ｌ的對稱點為Ｍ′（ｘ′，ｙ′），則

#8226;3 = -1，3 ×-+ 3 ＝ ０.

解之得：x′ = -，ｙ′ ＝ .

∵點Ｍ′（ｘ′，ｙ′）在直線ｌ1上，

∴ - -- ２ ＝ ０，

∴直線ｌ2的方程為：7x + y + 22 = 0.

評析 解法３利用了求曲線方程的一般方法.

四、直線關于點的對稱

由對稱性可知，直線ｌ1關于點Ｍ（ａ，ｂ）的對稱直線ｌ2彼此平行，有斜率k2 = k1，在直線ｌ1上取一特殊點A（x０，y0），它關于點Ｍ（ａ，ｂ）的對稱點Ａ′（2a - x0，2b - y0）在直線ｌ2上，由點斜式可求出直線ｌ2的方程；當直線ｌ1的斜率不存在時，方程設為ｘ ＝ ｍ，易得直線ｌ2的方程為x = 2a - m

例３ 求直線ｌ１：３ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０關于點Ｍ（３，－２）的對稱直線ｌ2的方程.

解 由已知直線l1的斜率k1 = 3，根據對稱性，直線ｌ1與其對稱直線ｌ2平行，

∴直線ｌ2的斜率k2 = 3.

在直線ｌ１上取一特殊點Ａ（０，１），它關于點Ｍ（３，－２）的對稱點Ａ′（6，-5y）在直線ｌ2上，由點斜式方程得直線ｌ2的方程為：ｙ － （－５） ＝ ３ × （ｘ － ６），即：3x - y - 23 = 0.

五、創新應用

例４ 光線從點Ａ（－３，５）射到直線ｌ：３ｘ － ４ｙ ＋ ４ ＝ ０后，反射線經過點Ｂ（２，１５），求反射線所在的直線方程.

分析 入射光線與直線l的交點無法直接得到，故應抓住入射角等于反射角這一物理結論，將其轉化為直線ｌ對入射線、反射線所在直線，關于直線ｌ對稱，故只需求得點Ａ關于ｌ的對稱點Ａ′，則Ａ′Ｂ所在直線即是反射光線所在的直線．

解 設Ａ（－３，５）關于直線ｌ的對稱點為Ａ′（ｘ′，ｙ′），由對稱性得：

AA′⊥直線l且AA′的中點在直線上，

∴ #8226; ＝ -１，３ ×－ ４ ×＋ ４ ＝ ０.

即：4x′ + 3y′- 3 = 0，3x′ - 4y′ - 21 = 0.

∴ｘ′ ＝ ３，ｙ′ ＝ －３. 解得：Ａ′（３，－３）.

∴反射光線所在的直線方程為： = .

即18x + y - 51= 0.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文