柯西中值定理的幾種證明

微分中值定理是微分學中的基本定理，是構成微分學基礎的重要內容，而它也是數學分析或高等數學中理論性強、證明方法獨特、學生難以理解與掌握的內容；其中，以柯西中值定理為最．微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理. 三者之間的關系是：前兩個是后一個的特殊形式，而后一個是前兩個的一般形式和代表性．微分中值定理的應用十分廣泛，因此，對微分中值定理的深入理解是很必要的．現介紹柯西中值定理的幾種證明方法與應用，使其更好地被認知和應用．

１. 柯西中值定理的內容

如果函數ｆ（ｘ）及ｇ（ｘ）滿足：

（１）在閉區間［ａ，ｂ］上連續；（２）在開區間（ａ，ｂ）內可導；

（３）對任一ｘ∈（ａ，ｂ），ｇ′（ｘ） ≠ 0，那么在（ａ，ｂ）內至少有一點ξ，使等式 ＝ 成立．

２. 柯西中值定理的證明

柯西中值定理證明方法的探討與研究歷來是一個引人注目的問題．一般常見的證明方法是構造輔助函數再根據羅爾定理加以證明．下面將給出關于這一定理的幾種證明方法．

２．１利用羅爾中值定理證明柯西中值定理

首先給出羅爾中值定理的內容如下：

如果函數ｆ（ｘ）滿足（ｉ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續；（ｉｉ）在開區間（ａ，ｂ）內可導；（ｉｉｉ）如果ｆ（ａ） ＝ ｆ（ｂ）， 那么在區間（ａ，ｂ）內至少存在一點ξ（ａ ＜ ξ ＜ ｂ），使得ｆ′（ξ） = 0．

證明 令Ｆ（ｘ） ＝ ，

則Ｆ（ａ） ＝ Ｆ（ｂ） ＝.

由羅爾中值定理知：存在ξ∈（ａ，ｂ），使得Ｆ′（ξ） ＝ ０．

又知Ｆ′（ｘ） ＝ ，

故 ＝ ０，

即 ＝ . 命題得證．

２．２利用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理

試證 用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理．

證明 由題可設，任意的x∈（ａ，ｂ），ｇ′（ｘ）存在且ｇ′（ｘ）≠0，因此函數ｇ（ｘ）嚴格單調，不妨設ｇ（ｘ），在閉區間［ａ，ｂ］上單調遞增．令t = ｇ（ｘ），則ｔ是閉區間［ａ，ｂ］上的單調連續函數．記ｇ（ａ） ＝ Ａ，ｇ（ｂ） ＝ B．由反函數存在性定理和反函數倒數存在定理知，存在單調遞增且連續的反函數y = g-１（ｔ），ｔ∈［Ａ，Ｂ］由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上連續可知，在連續的復合函數ｙ ＝ ｆ（ｇ－１（ｔ）） ＝ ｈ（ｔ），根據方程求導公式有：ｈ′（ｔ） =＝＝ ，ｘ∈（ａ，ｂ），故ｈ′（x）在x∈［a，b］上連續，即ｔ∈［Ａ，Ｂ］內存在．從而h（ｔ）在［Ａ，Ｂ］上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此至少存在一點ｔ ＝ ｇ（ξ）∈［Ａ，Ｂ］，使得ｈ′（ｔ）｜ｔ＝ｇ（ξ） ＝＝＝ .

又因為：ｈ′（ｔ）｜ｔ＝ｇ（ξ） ＝ ｜ｔ ＝ ｇ（ξ）＝ ，

所以結合上面的式子我們可以得出： = ．這樣命題就得證.

２．３ 用反向分析法證明柯西中值定理

反向分析法是從定理的理論出發，進行一系列的反向思維分析，尋找結論與條件之間的有機聯系，探索各種可能的證明途徑和有效方法．

證明 假設在開區間（ａ，ｂ）內至少存在一點ξ，使得等式 ＝ 成立，依據等式的性質，將這個等式改寫為：ｆ′（ξ） - ｇ′（ξ） = 0.（１）

將（１）式看作某個導函數的值為０，則就有［ｆ（ｘ） － ｇ（ｘ）］′|x=ξ = 0.

由此，可以做一個輔助函數：［ｆ′（ｘ） － ｇ′（ｘ）］ = Ｑ（ｘ）．通過檢驗，可以發現，函數Ｑ（ｘ）符合羅爾中值定理的所有條件，即Ｑ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上是連續的，在開區間（ａ，ｂ）內是可導的，且Ｑ（a） = Ｑ（b），因此，根據羅爾定理，至少存在一點ξ∈［ａ，ｂ］，使得Ｑ′（ξ） = 0．所以等式 ＝ 成立，且滿足柯西中值定理的條件，則柯西中值定理得證．

２．４ 利用定積分法證明柯西中值定理

在高等數學教材中，雖然微分中值定理和積分中值定理是相互獨立的，但它們之間也存在著必然的內在聯系．下面我們就利用積分定理來證明．

考查函數φ（ｘ） ＝ ［ｆ（ｂ） － ｆ（ａ）］ｆ（ｘ） － ｇ（ｘ）［ｇ（ｂ） － ｇ（ａ）］，由函數ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）滿足在閉區間［ａ，ｂ］上連續可導的條件，并且ｇ（ｂ） ≠ ｇ（ａ），以及ｆ′（ｘ），ｇ′（ｘ）不同時為０的條件．可知函數φ（ｘ）滿足連續可積的條件，并且φ′（ｘ）也滿足在閉區間［ａ，ｂ］上連續，且φ′（ｘ）dx的值不受影響，則可用牛頓－萊布尼茨公式可知φ（b） - φ（a） = φ′（ｘ）dx．又可以由積分中值定理得：φ′（ｘ）ｄｘ ＝ φ′（ｘ）ξ∈［ａ，ｂ］變形得φ′（ξ）（ｂ － ａ） ＝ φ（ｂ） － φ（ａ）．

因為φ（b） = φ（a），所以φ′（ξ）（ｂ － ａ） ＝ 0.又因為a ≠ b，所以有φ′（ξ） ＝ ０，這樣就可以得到［ｆ（ｂ） － ｆ（ａ）］ｆ′（ξ） － ｇ′（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］ = 0，這樣我們的柯西中值定理就得證．

當然柯西中值定理的證明不僅僅是這些方法，在學習中我們還會發現更多的好的證明方法．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文