例談幾何教學(xué)中“基本圖形”的作用

幾何教學(xué)過(guò)程中，周圍的大部分教師總是覺(jué)得教的非常辛苦，但是收效不大. 很多學(xué)生在進(jìn)入幾何的學(xué)習(xí)之后馬上陷入一種迷惑中，普遍感到幾何知識(shí)學(xué)習(xí)困難. 產(chǎn)生這狀況的主要原因是題目的條件、結(jié)論及圖形的變化等太多，難以把握. 如何改變這一狀況，是擺在我們教師面前的一道課題，多年的教學(xué)實(shí)踐中得到了一些可以解決這一問(wèn)題的較好的教學(xué)策略，其中除了做好學(xué)生幾何學(xué)入門的一些好習(xí)慣的培養(yǎng)之外，注重教學(xué)中對(duì)基本圖形的歸納和總結(jié)是解決這一問(wèn)題的良好對(duì)策. 在此，談?wù)剛€(gè)人的一些想法.

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)定義、定理的掌握已經(jīng)達(dá)到了熟練的程度，但一旦遇到實(shí)際的運(yùn)用，則不知所措，不知從何做起. 其中原因之一就是學(xué)生只是停留在對(duì)定理的理解記憶方面，而對(duì)定理所涉及的基本圖形認(rèn)識(shí)不夠，重視不夠，又聯(lián)系不到實(shí)際的幾何證明題之中. 實(shí)際上，所有的幾何圖形，都是由一些最基本的圖形構(gòu)成的，我們的定理，就是對(duì)基本圖形的介紹，每一個(gè)定理，都介紹了在某一個(gè)圖形下誕生的結(jié)論，或者在某一條件下誕生的圖形. 把握好這些基本圖形，就能解決各種各樣的問(wèn)題，幾何學(xué)習(xí)困難的問(wèn)題也就得到了一定解決.

正因?yàn)槿绱耍莆栈緢D形，運(yùn)用基本圖形就成了幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 下面，筆者通過(guò)一些具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明幾何教學(xué)中如何將基本圖形融合到教學(xué)的過(guò)程中.

筆者在進(jìn)行平行線的教學(xué)時(shí)，給學(xué)生布置了如下的一道幾何題：

已知：如圖1，直線ＡＢ∥ＣＤ，∠PAB = 154°，∠PCD = 121°，求∠APC的度數(shù)？

很多學(xué)生左思右想，百思不得其解. 究其原因，我認(rèn)為是對(duì)基本圖形的掌握不夠大有關(guān)系.

我們?cè)谶M(jìn)行平行線的教學(xué)時(shí)，重點(diǎn)介紹了“兩直線被第三條直線所截”這一基本圖形. 我們將此圖形簡(jiǎn)稱為“三線八角”（圖2）.

我們來(lái)觀察圖1， 它有三線八角的雛形，但是又不是完整的“三線八角”所以，補(bǔ)全基本圖形就是解決題的關(guān)鍵點(diǎn). 這就產(chǎn)生了多種解決方案.

常見的方法有：

１. 延長(zhǎng)ＡＰ交ＣＤ于Ｅ點(diǎn)構(gòu)成“三線八角” （如圖3（１））

２. 連接ＡＣ構(gòu)成“三線八角”（如圖3（2））

３. 過(guò)Ｐ點(diǎn)作ＡＢ的平行線構(gòu)成“三線八角”（如圖4）

從而使問(wèn)題得到解決.

我們?cè)谶M(jìn)行三角形的外角的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)習(xí)了“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這一基本定理，認(rèn)識(shí)了在圖5這一基本圖形下產(chǎn)生的結(jié)論，即∠ACD =∠A + ∠B，由這一基本圖形，我們可以知道，圖6是兩個(gè)圖五的疊加，進(jìn)而可以得出∠A + ∠B = ∠C + ∠D這一結(jié)論，有了這一認(rèn)識(shí)，我們就可以解決以下這一問(wèn)題：

已知，如圖7，∠BAＤ和∠ＢＣＤ的角平分線相交于點(diǎn)Ｐ，請(qǐng)判斷∠Ｂ，∠Ｐ，∠Ｄ三者之間的關(guān)系，并對(duì)你的判斷作出證明.

觀察圖7，我們可以發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，圖7是由基本圖形圖6組合而成，三個(gè)這樣的圖形疊加到一起，就組成了圖7，故而，我們可以發(fā)現(xiàn)，在這一圖形中存在有∠ＢＥＰ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠Ｂ ＝ ∠ＥＣＰ ＋ ∠Ｐ、∠ＤＦＰ ＝ ∠ＦＣＤ ＋ ∠Ｄ ＝ ∠ＦＡＰ ＋ ∠Ｐ這些相等關(guān)系，由角平分線定理我們又有∠ＢＡＥ ＝ ∠ＦＡＰ，∠ＦＣＤ ＝ ∠ＥＣＰ、這些相等關(guān)系，從而我們可以得出∠ＦＡＰ ＋ ∠Ｂ ＝ ∠ＦＣＤ ＋ ∠Ｐ、∠ＦＣＤ ＋ ∠Ｄ ＝ ∠ＦＡＰ ＋ ∠Ｐ這一結(jié)論，因此，可以找到∠Ｂ，∠Ｐ，∠Ｄ三者之間的關(guān)系∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ ２∠Ｐ，有了這些分析，解決這一問(wèn)題將不再成為問(wèn)題.

有些圖形，本身就是基本圖形，但它又是由幾個(gè)基本圖形構(gòu)成，這樣的圖形，在我們的幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常見到，讓學(xué)生覺(jué)得非常棘手.

例如， 等腰三角形中的“三線合一”定理是我們教師在幾何教學(xué)中重點(diǎn)向?qū)W生介紹的一個(gè)定理，它的基本內(nèi)容是“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”. 這一定理，把幾個(gè)基本圖形：三角形的高（圖8）、三角形的中線（圖9）、三角形的角平分線（圖10）融合在一個(gè)圖形中，更為奇妙的是，在這一圖形中，它還隱藏著線段的垂直平分線（圖11）這一基本圖形. 這些基本圖形構(gòu)成一個(gè)新的基本圖形（圖12）. 這一新的基本圖形，和構(gòu)成它的基本圖形有著本質(zhì)上的不同（在圖8、圖9、圖10中，我們看到，這些三角形可以是不規(guī)則三角形），它是受到一定的條件限制（有兩邊相等）的. 我們?cè)谘芯窟@一圖形時(shí)，必須要牢牢的把握住這一典型特征.

我們可以通過(guò)下面的實(shí)例對(duì)這一問(wèn)題加以說(shuō)明.

例１ 如圖13，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＡＣ，Ｄ是△ＡＢＣ外一點(diǎn)，且ＢＤ ＝ ＣＤ，求證：ＡＤ平分ＢＣ.

通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖形是由兩個(gè)等腰三角形組合而成，如果我們能夠說(shuō)明線段ＡＤ是∠BAC或∠BDC角平分線，那么即可由“三線合一”定理得出ＡＤ平分ＢＣ.

證明過(guò)程如下：∵AB = AC，ＢＤ ＝ ＣＤ，ＡＤ ＝ ＡＤ，

∴△ＡＢＣ≌△ＤＢＣ，∴ ∠BAD = ∠CAD，∴ ＡＤ平分ＢＣ.

例２ 如圖14，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ分別是∠BAC和∠BAF的角平分線，ＢＥ⊥ＡＥ. 求證：ＡＢ ＝ ＤＥ.

觀察圖14，可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成本圖的基本圖形是等腰三角形、矩形和角平分線. 由題目給出的條件可以知道，△ＡＢＣ是等腰三角形，ＡＤ是∠BAC的角平分線，故而可以聯(lián)想到“三線合一”定理，得出∠ADB = 90°，又由ＡＥ平分∠BAF，即可證得∠DAE = 90°，加上條件ＢＥ⊥ＡＥ即可判斷四邊形ＡＤＢＥ是矩形，從而得到所需證明的結(jié)論. 具體過(guò)程如下：

證明 ∵ AB = AC，ＡＤ是∠BAC的角平分線，

∴ＡＤ⊥ＢＣ，∴ ∠ADB = 90°.

∵ ＡＥ平分∠BAF，

∴ ∠BAE = ∠BAF，∴ ∠BAD = ∠BAC，

∴ ∠ＢＡＥ ＋∠ＢＡＤ ＝ （∠ＢＡＦ ＋∠ＢＡＣ），

∵ ∠BAF + ∠BAC = 180° ，∴ ∠BAE + ∠BAD = 90°，

即∠EAD = 90°，

又∵ ＢＥ⊥ＡＥ，∴ ∠AEB = 90°，

∴ ∠AEB = ∠EAD = ∠ADB = 90 °，

∴四邊形ＡＤＢＥ是矩形，∴ ＡＢ ＝ ＤＥ.

加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本圖形的理解和認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生很好地解決幾何問(wèn)題能起到事半功倍的作用. 我們教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該注重對(duì)基本圖形的分析，才能使學(xué)生較好的掌握基本圖形并將它應(yīng)用于幾何問(wèn)題的解決過(guò)程中，提高幾何的學(xué)習(xí)能力，真正做到“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文