例談別開生面的“新定義”中考題

【摘要】 面對從未接觸過的新定義，同學們能否迅速接受運用？這對同學們處理信息﹑主動探究問題的能力無非是一種挑戰. 縱觀２０１０年全國各地中考試題，一些“新定義”試題就備受青睞，這類試題即時定義新運算﹑新法則﹑新概念，然后依據“新定義”去解決問題. 現舉例說明如下：１． 定義新運算２． 定義新法則３． 定義新概念.

【關鍵詞】 變換；行列式；坐標三角形

縱觀２０１０年全國各地中考試題，一些“新定義”試題就備受青睞，這類試題即時定義新運算﹑新法則﹑新概念，然后依據“新定義”去解決問題. 現舉例說明如下：

１． 定義新運算

例１ （２０１０年四川達州）在平面直角坐標系中，對于平面內任一點（ｍ，ｎ），規定以下兩種變換：

① ｆ（ｍ，ｎ） ＝ （ｍ，－ｎ），如ｆ（２，１） ＝ （２，－１）；

② ｇ（ｍ，ｎ） ＝ （－ｍ，－ｎ），如ｇ（２，１） ＝ （－２，－１）．

按照以上變換有：ｆ［ｇ（３，４）］ ＝ ｆ（－３，－４） ＝ （－３，４），那么ｇ［ｆ（－３，２）］等于（）.

Ａ． （３，２）Ｂ． （３，－２）

Ｃ． （－３，２） Ｄ． （－３，－２）

解析 由題意應先進行ｆ方式的運算，再進行ｇ方式的運算，注意運算順序及坐標的符號變化．

∵ｆ（－３，２） ＝ （－３，－２），

∴ ｇ［ｆ（－３，２）］ ＝ ｇ（－３，－２） ＝ （３，２），故選Ａ．

點評 本題呈現的是復合函數的運算方式，雖說“新題”考查的卻是基礎數學知識，所以說掌握好雙基才是制勝法寶. ２． 定義新法則

例２ （２０１０年重慶江津）我們定義a bc d = ad - bc，例如2 34 5 ＝ ２ × ５ － ３ × ４ ＝ １０ － １２ ＝ －２．若x，y均為整數，且滿足１ ＜ 1 xy 4 ＜ ３，則x + y的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析 由新法則知１ ＜ ４ － xy ＜ ３，

解這個不等式組得１ ＜ xy ＜ ３

再由x、y均為整數得xy ＝ ２ 從而x + y的值是±3.

點評 本題所定義運算法則是高中二階行列式運算法則. 對于新法則，應深刻理解其內涵，從而獲得正確的解題途徑. 以高中知識為載體的還有２０１０年廣西南寧卷中的“三角數”﹑ 安徽蚌埠卷中的“理想數”問題.

３． 定義新概念

例３ （２０１０年浙江紹興）在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形．例如，圖中的一次函數的圖像與ｘ，ｙ軸分別交于點Ａ，Ｂ，則△ＯＡＢ為此函數的坐標三角形．

（１）求函數ｙ ＝ -ｘ ＋ ３的坐標三角形的三條邊長；

（２）若函數ｙ ＝ -ｘ ＋ ｂ（ｂ為常數）的坐標三角形周長為１６， 求此三角形面積．

解析 （１） ∵ 直線ｙ ＝ -ｘ ＋ ３與ｘ軸的交點坐標為（４，０），與ｙ軸交點坐標為（０，３），

∴函數ｙ ＝ -ｘ ＋ ３的坐標三角形的三條邊長分別為３，４，５．

（２）直線ｙ ＝ -ｘ ＋ ｂ與ｘ軸的交點坐標為（b，０），與ｙ軸交點坐標為（０，ｂ），當ｂ ＞ ０時，b + b + b = 16，得ｂ ＝４，此時，坐標三角形面積為；

當ｂ ＜ ０時，-b - b - b = 16，得ｂ ＝ －４，此時，坐標三角形面積為．

綜上，當函數ｙ ＝ -ｘ ＋ ｂ的坐標三角形周長為１６時，面積為．

點評 此題屬于對已有的知識改造、重組 “新概念”的問題，像類似的２０１０年湖南益陽卷中“方形環” 問題，都是要求學生能迅速提取有用信息，善于挖掘問題本質. 求解過程中還會分類討論，全面思考問題.

例４ （２０１０年安徽蚌埠）記Sn ＝ a1 + a2 + … + an，令Tn = ，稱Tn為a1，a2，…，an這列數的“理想數”. 已知a1，a2，…，a500的“理想數”為２００４，那么８，a1，a2，…，a500，的“理想數”為＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

Ａ． ２００４ Ｂ． ２００６Ｃ． ２００８Ｄ． ２０１０

解析 對于８，a1，a2，…，a500，而言，ｎ ＝ ５０１，它的理想數為：Ｔ５０１ ＝＝

＝ ２００８. 故選答案Ｃ

點評 在數論中，理想數是在某個數域的整數環中表示一個理想的數. 要解這一題，必須深度理解理想數的表達形式及運算規則，然后套用題目提供的對應關系解決問題. 隨著新課程改革的不斷深入，學生的創新意識越來越被重視. “新定義”中考題的凸起，恰恰是激發了同學們的探究欲望，培養了他們的創新能力，深化了素質教育. 同時也為學生的終生學習奠定了基礎.

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