T₁空間的Wallman緊化與Scott拓撲

【摘要】T1空間X的Wallman緊化W(X)是在X的所有閉集族上的極大濾子族上構造拓撲而獲得的.所有閉集族上的濾子族作為dcpo而具有Scott拓撲.該文主要討論W(X)作為Scott空間的子空間與T1空間X的Wallman緊化之間的關系.

【關鍵詞】閉濾子族；Wallman緊化；Scott拓撲

1.引 言

緊性是最重要的一個拓撲性質.因此把一個一般的空間嵌入到一個緊空間是一件很有意義的工作.對于T1空間X有沒有對應的T1緊化呢？在上世紀30年代Wallman回答了這一問題并構造出了著名的Wallman緊化，它的主要價值在于它很好地保持了有限交和并的運算.它把T1空間X的拓撲變為緊空間W(X)的拓撲的一個基，這意味著X與W(X)有相同的維數（在覆蓋意義下）以及同構的Cech同調群.

而在一個定向完備的偏序集（dcpo）L上，UL，若U為上集，且對于L上的任意定向集D，supD∈U有U∩D≠，則稱U為Scott開集，L的所有的Scott開集構成的拓撲空間稱為L上的Scott拓撲，記做σ(L).它在序理論中有很重要的應用.于是把一個T1空間的Wallman緊化與偏序集的Scott拓撲建立聯系是很有意義的，本文正是來做這樣的工作.

2.問題的引入

首先我們給出Wallman緊化的定義.設X為一個T1空間，X的閉集族上的所有真濾子（簡稱閉濾子）之集記為C.注意到每個閉濾子必包含在一個極大閉濾子中，不妨把所有的極大閉濾子的全體記為max(C).x∈X，記ξx為X中包含{x}的閉集全體.易驗證ξx∈max(C).作從X到max(C)的映射φ:x→ξx，φ為單射.可以認為X為max(C)的一個子集.U開于X，令U*={ξ:ξ∈max(C)且A∈ξ使得AU}，則max(C)上以{U*:U開于X}為基生成的拓撲空間限制在X上恰好就是T1空間X，且X是它的稠子空間，我們稱它為X的Wallman緊化，簡記為W(X).

下面我們討論C的性質，易驗證.

引理1 (C，)與(C，)均構成dcpo.

推論2 在(C，)中由閉濾子構成的定向集D存在上確界（關于）且supD=∪D.

證明 只需證∪D為一閉濾子即可.

顯然∪D為一上集，U1，U2∈∪D存在ξ1，ξ2∈D使得U1∈ξ1，U2∈ξ2.而D定向可知存在ξ3∈D滿足ξ1∪ξ2ξ3，故U1∩U2∈ξ3∪D.證畢.

于是可以在(C，)與(C，)上定義Scott拓撲，相應得到(C，σ(C))與(C，σ(Cop)).

問題 σ(C)與σ(Cop)在max(C)上的子拓撲與W(X)之間的關系？

3.σ(C)|max(C)與W(X)之間的關系

首先我們討論W(X)中的開集是否開于σ(C)|max(C).我們有如下結論：

定理3 對于任意的V開于W(X)，有V開于σ(C)|max(C).

證明 我們只需證明V為W(X)的基元時上結論成立即可.即存在X中的開集U使得U*=V.構造閉濾子族Θ={θ:θ∈C且存在A∈θ使得AU}，易知Θ∩max(C)=V.

現證Θ為(C，σ(C))上的開集.

對于任意的定向集D，若supD=∪D∈Θ，則存在A∈∪D使得AU，故存在ξ∈D使得A∈ξ.于是我們有ξ∈Θ，即得Θ為Scott開集.

下面考慮反過來的事情，即σ(C)|max(C)的開集是否亦開于W(X).

定理4 x∈X，φ(x)=ξx∈max(C)，則{ξx}為Scott開集.

證明 對于任意的定向集D，有supD=∪D=ξx，又由{x}∈ξx，故{x}∈∪D.于是存在ξ∈D使得{x}∈ξ，而ξ為上集，于是有ξ=ξx∈{ξx}.證畢.

由定理4可知σ(C)|max(C)上所有形如{ξx}的集合為開集，故欲使σ(C)|max(C)與W(X)相同，則要求{ξx}開于W(X).而W(X)限制在X上，與X本來的拓撲結構一致，于是X只能是離散拓撲空間，且我們有：

定理5 σ(C)|max(C)與W(X)相同的充要條件是X為離散拓撲空間.

證明 由上面的討論知必要性是顯然的.

下面證明充分性：事實上只需證明當X為離散拓撲空間時，對于任意的U開于(C，σ(C))，只需U∩max(C)開于W(X)即可.對于任意的ξ∈U∩max(C)，V∈ξ.令V′={A|A為X上的閉集且VA}，即V′為X上所有包含V的閉集構成的閉濾子（實際上X的任何子集均為閉集）.

令D={V|V∈ξ}，則對于任意的V′ 1，V′ 2∈D，由V1∩V2∈ξ，故(V1∩V2)′∈D且V′ 1(V1∩V2)′，V′ 2(V1∩V2)′，于是D為定向集.

又由ξ為上集，supD=∪D=ξ∈U，而U為Scott開集，故存在V′ 0∈D且V′ 0∈U.

由X為離散拓撲，故V0為開集.

而U為上集，故ξ′∈V*0，有V′ 0ξ′，所以ξ′∈U.因此我們得到V*0U，顯然有ξ∈V*0U∩max(C)，而V*0為W(X)的基元，所以U∩max(C)為W(X)上的開集.即得該命題成立.

綜上我們知σ(C)|max(C)細于W(X)，只有當X為離散拓撲空間時二者相同.

由于離散拓撲空間它的StoneCech緊化與Wallman緊化是相同的，于是有：

推論 任一離散空間X，它的StoneCech緊化是其閉濾子族上的Scott拓撲的限制.

【參考文獻】

［1］［美］J.L.凱萊.一般拓撲學.科學出版社，1982.

［2］［日］兒玉之宏，涌見啟應.拓撲空間論.科學出版社，1984.

［3］G GIERZ，K H HOFMANN，K KEIMEL，J D LAWSON，M MISLOVE，D S SCOTT.Continuous Lattices and Domains.CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS，2003.