直線斜率點睛

直線的斜率的常規應用有：①求傾斜角；②求直線的點斜式、斜截式方程；③討論兩直線的位置關系；等.除了常規應用，還有以下幾點值得注意：

1.已知直線傾斜角的范圍求斜率的范圍

例1 已知直線l過點P(-1，2)且與以A(-2，-3)，B(3，0)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍.

解析 如圖所示.

直線PA的斜率

kPA=2-(-3)-1-(-2)=5.

直線PB的斜率

kPB=0-23-(-1)=-12.

當直線l繞著點P由PA旋轉到與y軸平行的位置PC時，它的斜率的變化范圍是［5，+∞);當直線l繞著點P由PC旋轉到PB位置時，它的斜率的變化范圍是-∞，-12.

∴直線l的斜率的取值范圍是-∞，-12∪［5，+∞).

說明 顯然直線l繞著點P由PA旋轉到與y軸平行的位置PC時，傾斜角的變化范圍是由銳角到π2，當直線l繞著點P由PC旋轉到PB位置時，傾斜角的變化范圍是由π2到鈍角，即總的傾斜角的變化范圍是由銳角到鈍角，所以可認為本題是由傾斜角的范圍求斜率的范圍，由正切函數圖像可得結果.

2.直線方向向量中的斜率

例2 (2008年廣東汕頭模擬)已知直線l的方向向量與向量a=(1，2)垂直，且直線l過點A(1，1)，則直線l的方程為（）.

A.x-2y-1=0 B.2x+y-3=0

C.x+2y+1=0D.x+2y-3=0

解析 設直線l的方向向量為b=(1，k)，則由a#8226;b=1+2k=0，得k=-12，所以直線l的方程為y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.故選D.

說明 直線的方向向量中含直線的斜率k，b=(1，k)是直線的方向向量特別的假設方式，例如當直線的方向向量為c=(3，4)時，應根據實數與向量的積的坐標運算公式得c=(3，4)=31，43，從而得直線的斜率k=43.

3.直線斜率的存在性問題

例3 已知點M(3，1)，直線ax-y+4=0及圓(x-1)2+(y-2)2=4.

（1）求過M(3，1)的圓的切線方程.

（2）若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值.

解析 （1）圓心C(1，2)，半徑r=2.

當直線的斜率不存在時，由圓心C(1，2)到直線x=3的距離d=3-1=2=r知此時直線與圓相切.

當直線的斜率存在時，設直線方程為y-1=k(x-3)，即kx-y+1-3k=0.由題意知|k-2+1-3k|k2+1=2，解得k=34.

∴切線方程為y-1=34(x-3)，即3x-4y-5=0.

故過M(3，1)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0.

（2）由題意知|a-2+4|a2+1=2，解得a=0或a=43.

說明 當直線的斜率不存在時，直線沒有點斜式方程，屬于特殊情況，解題時往往容易遺漏.其實，到角、夾角公式的運用也有這種情況，此時應特殊情況特殊處理.

4.兩直線位置關系中的斜率

例4 已知直線l:2x-3y+1=0，求直線m:3x-2y-6=0關于直線l對稱的直線m′的方程.

解析 在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點必在m′上.設對稱點為M′(a，b)，則（注：斜率中點法）

2×a+22-3×b+02+1=0，

b-0a-2×23=-1.解得a=613，

b=3013.

設m與l的交點為N，則由2x-3y+1=0，

3x-2y-6=0，得N(4，3).

又 ∵m′經過點N(4，3)，

∴由兩點式，得m′的方程為9x-46y+102=0.

說明 直線l的斜率kl=23，直線m的斜率km=32，由于kl≠km，兩直線一定相交，故有交點.這種情況解題時容易疏忽.

5.線性規劃中的直線斜率

例5 若實數x，y滿足x-y+1≤0，

x≥0，

y≤2，則yx的取值范圍是（）.

A.(0，2)B.(0，2］

C.(2，+∞)D.［2，+∞)

解析 畫可行域(如圖).

yx的幾何意義是可行域內的點與坐標原點連線的斜率k.

由x+y-1=0，

y=2，得A(1，2).

∴k≥kOA=2，∴yx≥2.故選D.

說明 本題解題關鍵是把yx理解為可行域內的點與坐標原點連線的斜率k.