集合觀點下的簡易邏輯集合觀點下的簡易邏輯

在簡易邏輯一節中，集合的影子總是若隱若現，它們之間有一種若即若離、藕斷絲連的關系.事實上，集合在簡易邏輯中確實起到了一個穿針引線的作用.簡易邏輯中的有關問題若用相關的集合知識予以類比，則使問題顯得淺顯易懂，給人耳目一新之感.

一、集合與邏輯聯結詞的關系

集合中“并集”、“交集”、“補集”的定義分別為：Ａ∪Ｂ=｛x｜x∈Ａ或x∈Ｂ｝，Ａ∩Ｂ=｛x｜x∈Ａ且x∈Ｂ｝，

二、集合與真值表的關系

對于三種復合命題真假的判定，可由真值表加以對照.對于p且q而言，只有當p，q都真時，p且q才真.可以作這樣的類比：對于元素x，只有當x∈Ａ且x∈Ｂ時，才有x∈Ａ∩Ｂ，其余三種情況，均有xＡ∩Ｂ.對于p或q而言，只有當p，q都假時，p或q才假，其余全真.由并集定義知，對于元素x而言，只有當xＡ且xＢ時，才有xＡ∪Ｂ.無論x∈Ａ但xＢ或x∈Ｂ但xＡ或x∈Ａ且x∈Ｂ，都有x∈Ａ∪Ｂ.對于非p而言，p與非p的真假相反，由補集定義可知，對于全集Ｓ中任一元素x，當x∈Ａ時，x

三、集合與四種命題的關系

要能夠準確地構造一個復合命題的否命題或逆否命題，首先必須弄清p且q，p或q的否定形式.類比集合有關知識，對于全集Ｓ中任一元素x，若xＡ∩Ｂ，則有x∈

例1 寫出命題“若x2-5x-14=0，則x=7或x=-2”的否命題與逆否命題.

分析 因x2-5x-14=0的否定形式為x2-5x-14≠0，x=7或x=-2的否定形式x≠7且x≠-2，故命題“若x2-5x-14=0，則x=7或x=-2”的否命題為“若x2-5x-14≠0，則x≠7且x≠-2”，逆否命題為“若x≠7且x≠-2，則x2-5x-14≠0”.

四、集合與四種條件的關系

欲判定p是q的什么條件，有時可用集合法加以判定.設p對應集合Ａ，q對應集合Ｂ，若ＡＢ，則p是q的充分非必要條件；若ＢＡ，則p是q的必要非充分條件；若Ａ=Ｂ，則p是q的充要條件；若ＡＢ且ＢＡ，則p既不是q的充分條件，也不是必要條件.

例2 已知p:x＞3，q:x＞4，則p是q的（）條件.

分析 顯然集合｛x|x＞4｝｛x|x＞3｝，故p是q的必要非充分條件.